Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62380 / 40346
↖ ↑ ↗
← N 56.713551°
W  8.668213°		 ← 167.63 m → N 56.713551°
W  8.665466°		 →
↑
167.62 m
↓
↑
167.62 m
↓
N 56.712044°
W  8.668213°		 ← 167.63 m →
28 098 m²		 N 56.712044°
W  8.665466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475925445556641 y=0.307819366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475925445556641 × 217)
    floor (0.475925445556641 × 131072)
    floor (62380.5)     		tx = 62380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307819366455078 × 217)
    floor (0.307819366455078 × 131072)
    floor (40346.5)     		ty = 40346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62380 / 40346 ti = "17/62380/40346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62380/40346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62380 ÷ 217
    62380 ÷ 131072     		x = 0.475921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40346 ÷ 217
    40346 ÷ 131072     		y = 0.307815551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307815551757812 × 2 - 1) × π
    0.384368896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20753050142921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15128886} λ = -0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20753050142921))-π/2
    2×atan(3.34521344406461)-π/2
    2×1.280317261643-π/2
    2.56063452328601-1.57079632675     		φ = 0.98983820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98983820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.713551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62380 KachelY 40346 -0.15128886 0.98983820 -8.668213 56.713551
    Oben rechts KachelX + 1 62381 KachelY 40346 -0.15124092 0.98983820 -8.665466 56.713551
    Unten links KachelX 62380 KachelY + 1 40347 -0.15128886 0.98981189 -8.668213 56.712044
    Unten rechts KachelX + 1 62381 KachelY + 1 40347 -0.15124092 0.98981189 -8.665466 56.712044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98983820-0.98981189) × R
    2.63099999999739e-05 × 6371000     		dl = 167.621009999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98983820-0.98981189) × R
    2.63099999999739e-05 × 6371000     		dr = 167.621009999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15128886--0.15124092) × cos(0.98983820) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548825122402193 × 6371000     		do = 167.625319140268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15128886--0.15124092) × cos(0.98981189) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548847115719697 × 6371000     		du = 167.632036465541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98983820)-sin(0.98981189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548825122402193-0.548847115719697)×R²
    abs(-0.15124092--0.15128886)×2.19933175040765e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19933175040765e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19933175040765e-05×40589641000000     		ar = 28098.0882798649m²