Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62380 / 34140
↖ ↑ ↗
← N 64.965415°
W  8.668213°		 ← 129.25 m → N 64.965415°
W  8.665466°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 64.964254°
W  8.668213°		 ← 129.25 m →
16 699 m²		 N 64.964254°
W  8.665466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475925445556641 y=0.260471343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475925445556641 × 217)
    floor (0.475925445556641 × 131072)
    floor (62380.5)     		tx = 62380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260471343994141 × 217)
    floor (0.260471343994141 × 131072)
    floor (34140.5)     		ty = 34140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62380 / 34140 ti = "17/62380/34140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62380/34140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62380 ÷ 217
    62380 ÷ 131072     		x = 0.475921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34140 ÷ 217
    34140 ÷ 131072     		y = 0.260467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260467529296875 × 2 - 1) × π
    0.47906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50502690047128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15128886} λ = -0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50502690047128))-π/2
    2×atan(4.50427479577357)-π/2
    2×1.35232836583641-π/2
    2.70465673167282-1.57079632675     		φ = 1.13386040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13386040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.965415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62380 KachelY 34140 -0.15128886 1.13386040 -8.668213 64.965415
    Oben rechts KachelX + 1 62381 KachelY 34140 -0.15124092 1.13386040 -8.665466 64.965415
    Unten links KachelX 62380 KachelY + 1 34141 -0.15128886 1.13384012 -8.668213 64.964254
    Unten rechts KachelX + 1 62381 KachelY + 1 34141 -0.15124092 1.13384012 -8.665466 64.964254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13386040-1.13384012) × R
    2.02800000002057e-05 × 6371000     		dl = 129.20388000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13386040-1.13384012) × R
    2.02800000002057e-05 × 6371000     		dr = 129.20388000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15128886--0.15124092) × cos(1.13386040) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423165244601043 × 6371000     		do = 129.245557974545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15128886--0.15124092) × cos(1.13384012) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423183619259204 × 6371000     		du = 129.251170068111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13386040)-sin(1.13384012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423165244601043-0.423183619259204)×R²
    abs(-0.15124092--0.15128886)×1.83746581609023e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83746581609023e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83746581609023e-05×40589641000000     		ar = 16699.3901158684m²