Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6238 / 10069
↖ ↑ ↗
← S 38.082690°
W 42.934570°		 ← 1 923.11 m → S 38.082690°
W 42.912598°		 →
↑
1 922.90 m
↓
↑
1 922.90 m
↓
S 38.099983°
W 42.934570°		 ← 1 922.65 m →
3 697 495 m²		 S 38.099983°
W 42.912598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380767822265625 y=0.614593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380767822265625 × 214)
    floor (0.380767822265625 × 16384)
    floor (6238.5)     		tx = 6238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614593505859375 × 214)
    floor (0.614593505859375 × 16384)
    floor (10069.5)     		ty = 10069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6238 / 10069 ti = "14/6238/10069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6238/10069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6238 ÷ 214
    6238 ÷ 16384     		x = 0.3807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10069 ÷ 214
    10069 ÷ 16384     		y = 0.61456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74934961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.719820484694763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74934961} λ = -0.74934961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719820484694763))-π/2
    2×atan(0.486839643283221)-π/2
    2×0.453064003119423-π/2
    0.906128006238847-1.57079632675     		φ = -0.66466832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74934961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.934570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66466832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.082690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6238 KachelY 10069 -0.74934961 -0.66466832 -42.934570 -38.082690
    Oben rechts KachelX + 1 6239 KachelY 10069 -0.74896612 -0.66466832 -42.912598 -38.082690
    Unten links KachelX 6238 KachelY + 1 10070 -0.74934961 -0.66497014 -42.934570 -38.099983
    Unten rechts KachelX + 1 6239 KachelY + 1 10070 -0.74896612 -0.66497014 -42.912598 -38.099983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66466832--0.66497014) × R
    0.000301820000000008 × 6371000     		dl = 1922.89522000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66466832--0.66497014) × R
    0.000301820000000008 × 6371000     		dr = 1922.89522000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74934961--0.74896612) × cos(-0.66466832) × R
    0.000383490000000042 × 0.787121408012824 × 6371000     		do = 1923.10666558276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74934961--0.74896612) × cos(-0.66497014) × R
    0.000383490000000042 × 0.786935210163314 × 6371000     		du = 1922.65174424298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66466832)-sin(-0.66497014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787121408012824-0.786935210163314)×R²
    abs(-0.74896612--0.74934961)×0.000186197849509573×R²
    0.000383490000000042×0.000186197849509573×6371000²
    0.000383490000000042×0.000186197849509573×40589641000000     		ar = 3697495.25983327m²