Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62376 / 29512
↖ ↑ ↗
← N 69.832048°
W  8.679199°		 ← 105.28 m → N 69.832048°
W  8.676453°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
N 69.831101°
W  8.679199°		 ← 105.29 m →
11 088 m²		 N 69.831101°
W  8.676453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475894927978516 y=0.225162506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475894927978516 × 217)
    floor (0.475894927978516 × 131072)
    floor (62376.5)     		tx = 62376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225162506103516 × 217)
    floor (0.225162506103516 × 131072)
    floor (29512.5)     		ty = 29512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62376 / 29512 ti = "17/62376/29512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62376/29512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62376 ÷ 217
    62376 ÷ 131072     		x = 0.47589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29512 ÷ 217
    29512 ÷ 131072     		y = 0.22515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.0482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15148060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22515869140625 × 2 - 1) × π
    0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15148060} λ = -0.15148060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7268788719129))-π/2
    2×atan(5.6230761505714)-π/2
    2×1.39479774145818-π/2
    2.78959548291636-1.57079632675     		φ = 1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15148060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62376 KachelY 29512 -0.15148060 1.21879916 -8.679199 69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 62377 KachelY 29512 -0.15143267 1.21879916 -8.676453 69.832048
    Unten links KachelX 62376 KachelY + 1 29513 -0.15148060 1.21878263 -8.679199 69.831101
    Unten rechts KachelX + 1 62377 KachelY + 1 29513 -0.15143267 1.21878263 -8.676453 69.831101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21879916-1.21878263) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21879916-1.21878263) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15148060--0.15143267) × cos(1.21879916) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 105.280646179011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15148060--0.15143267) × cos(1.21878263) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.344788722777373 × 6371000     		du = 105.285384308409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21879916)-sin(1.21878263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344788722777373)×R²
    abs(-0.15143267--0.15148060)×1.55164327368951e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.55164327368951e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.55164327368951e-05×40589641000000     		ar = 11087.6312299439m²