Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62375 / 29511
↖ ↑ ↗
← N 69.832994°
W  8.681946°		 ← 105.30 m → N 69.832994°
W  8.679199°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.832048°
W  8.681946°		 ← 105.30 m →
11 083 m²		 N 69.832048°
W  8.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475887298583984 y=0.225154876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475887298583984 × 217)
    floor (0.475887298583984 × 131072)
    floor (62375.5)     		tx = 62375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225154876708984 × 217)
    floor (0.225154876708984 × 131072)
    floor (29511.5)     		ty = 29511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62375 / 29511 ti = "17/62375/29511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62375/29511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62375 ÷ 217
    62375 ÷ 131072     		x = 0.475883483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29511 ÷ 217
    29511 ÷ 131072     		y = 0.225151062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475883483886719 × 2 - 1) × π
    -0.0482330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15152854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225151062011719 × 2 - 1) × π
    0.549697875976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.72692680881252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15152854} λ = -0.15152854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72692680881252))-π/2
    2×atan(5.62334570986925)-π/2
    2×1.39480600495164-π/2
    2.78961200990328-1.57079632675     		φ = 1.21881568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15152854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.681946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21881568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.832994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62375 KachelY 29511 -0.15152854 1.21881568 -8.681946 69.832994
    Oben rechts KachelX + 1 62376 KachelY 29511 -0.15148060 1.21881568 -8.679199 69.832994
    Unten links KachelX 62375 KachelY + 1 29512 -0.15152854 1.21879916 -8.681946 69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 62376 KachelY + 1 29512 -0.15148060 1.21879916 -8.679199 69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21881568-1.21879916) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21881568-1.21879916) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15152854--0.15148060) × cos(1.21881568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.344757699204611 × 6371000     		do = 105.297875400258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15152854--0.15148060) × cos(1.21879916) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 105.302611679975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21881568)-sin(1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344757699204611-0.344773206344636)×R²
    abs(-0.15148060--0.15152854)×1.55071400257389e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55071400257389e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55071400257389e-05×40589641000000     		ar = 11082.7369085709m²