Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62373 / 39124
↖ ↑ ↗
← N 58.510914°
W  8.687439°		 ← 159.50 m → N 58.510914°
W  8.684693°		 →
↑
159.53 m
↓
↑
159.53 m
↓
N 58.509479°
W  8.687439°		 ← 159.51 m →
25 446 m²		 N 58.509479°
W  8.684693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475872039794922 y=0.298496246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475872039794922 × 217)
    floor (0.475872039794922 × 131072)
    floor (62373.5)     		tx = 62373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298496246337891 × 217)
    floor (0.298496246337891 × 131072)
    floor (39124.5)     		ty = 39124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62373 / 39124 ti = "17/62373/39124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62373/39124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62373 ÷ 217
    62373 ÷ 131072     		x = 0.475868225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39124 ÷ 217
    39124 ÷ 131072     		y = 0.298492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475868225097656 × 2 - 1) × π
    -0.0482635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15162441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298492431640625 × 2 - 1) × π
    0.40301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26610939276492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15162441} λ = -0.15162441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26610939276492))-π/2
    2×atan(3.54702559869716)-π/2
    2×1.29600220970239-π/2
    2.59200441940478-1.57079632675     		φ = 1.02120809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15162441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.687439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02120809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.510914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62373 KachelY 39124 -0.15162441 1.02120809 -8.687439 58.510914
    Oben rechts KachelX + 1 62374 KachelY 39124 -0.15157648 1.02120809 -8.684693 58.510914
    Unten links KachelX 62373 KachelY + 1 39125 -0.15162441 1.02118305 -8.687439 58.509479
    Unten rechts KachelX + 1 62374 KachelY + 1 39125 -0.15157648 1.02118305 -8.684693 58.509479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02120809-1.02118305) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dl = 159.529839999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02120809-1.02118305) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dr = 159.529839999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15162441--0.15157648) × cos(1.02120809) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.522336146400415 × 6371000     		do = 159.501626007121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15162441--0.15157648) × cos(1.02118305) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.522357498838076 × 6371000     		du = 159.50814623083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02120809)-sin(1.02118305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522336146400415-0.522357498838076)×R²
    abs(-0.15157648--0.15162441)×2.1352437660549e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1352437660549e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1352437660549e-05×40589641000000     		ar = 25445.7889629088m²