Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62372 / 39132
↖ ↑ ↗
← N 58.499435°
W  8.690186°		 ← 159.59 m → N 58.499435°
W  8.687439°		 →
↑
159.59 m
↓
↑
159.59 m
↓
N 58.498000°
W  8.690186°		 ← 159.59 m →
25 470 m²		 N 58.498000°
W  8.687439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475864410400391 y=0.298557281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475864410400391 × 217)
    floor (0.475864410400391 × 131072)
    floor (62372.5)     		tx = 62372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298557281494141 × 217)
    floor (0.298557281494141 × 131072)
    floor (39132.5)     		ty = 39132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62372 / 39132 ti = "17/62372/39132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62372/39132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62372 ÷ 217
    62372 ÷ 131072     		x = 0.475860595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39132 ÷ 217
    39132 ÷ 131072     		y = 0.298553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298553466796875 × 2 - 1) × π
    0.40289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26572589756796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15167235} λ = -0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26572589756796))-π/2
    2×atan(3.54566559221121)-π/2
    2×1.29590203662333-π/2
    2.59180407324666-1.57079632675     		φ = 1.02100775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02100775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.499435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62372 KachelY 39132 -0.15167235 1.02100775 -8.690186 58.499435
    Oben rechts KachelX + 1 62373 KachelY 39132 -0.15162441 1.02100775 -8.687439 58.499435
    Unten links KachelX 62372 KachelY + 1 39133 -0.15167235 1.02098270 -8.690186 58.498000
    Unten rechts KachelX + 1 62373 KachelY + 1 39133 -0.15162441 1.02098270 -8.687439 58.498000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02100775-1.02098270) × R
    2.5050000000082e-05 × 6371000     		dl = 159.593550000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02100775-1.02098270) × R
    2.5050000000082e-05 × 6371000     		dr = 159.593550000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15167235--0.15162441) × cos(1.02100775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522506973783119 × 6371000     		do = 159.58707912295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15167235--0.15162441) × cos(1.02098270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522528332126211 × 6371000     		du = 159.593602510694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02100775)-sin(1.02098270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522506973783119-0.522528332126211)×R²
    abs(-0.15162441--0.15167235)×2.1358343091582e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1358343091582e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1358343091582e-05×40589641000000     		ar = 25469.5890380122m²