Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62370 / 40326
↖ ↑ ↗
← N 56.743687°
W  8.695678°		 ← 167.46 m → N 56.743687°
W  8.692932°		 →
↑
167.49 m
↓
↑
167.49 m
↓
N 56.742181°
W  8.695678°		 ← 167.46 m →
28 048 m²		 N 56.742181°
W  8.692932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475849151611328 y=0.307666778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475849151611328 × 217)
    floor (0.475849151611328 × 131072)
    floor (62370.5)     		tx = 62370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307666778564453 × 217)
    floor (0.307666778564453 × 131072)
    floor (40326.5)     		ty = 40326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62370 / 40326 ti = "17/62370/40326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62370/40326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62370 ÷ 217
    62370 ÷ 131072     		x = 0.475845336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40326 ÷ 217
    40326 ÷ 131072     		y = 0.307662963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475845336914062 × 2 - 1) × π
    -0.048309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15176822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307662963867188 × 2 - 1) × π
    0.384674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20848923942162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15176822} λ = -0.15176822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20848923942162))-π/2
    2×atan(3.34842216520178)-π/2
    2×1.28058024598251-π/2
    2.56116049196502-1.57079632675     		φ = 0.99036417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15176822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.695678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99036417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.743687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62370 KachelY 40326 -0.15176822 0.99036417 -8.695678 56.743687
    Oben rechts KachelX + 1 62371 KachelY 40326 -0.15172029 0.99036417 -8.692932 56.743687
    Unten links KachelX 62370 KachelY + 1 40327 -0.15176822 0.99033788 -8.695678 56.742181
    Unten rechts KachelX + 1 62371 KachelY + 1 40327 -0.15172029 0.99033788 -8.692932 56.742181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99036417-0.99033788) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dl = 167.493589999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99036417-0.99033788) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dr = 167.493589999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15176822--0.15172029) × cos(0.99036417) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548385368624124 × 6371000     		do = 167.456069385366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15176822--0.15172029) × cos(0.99033788) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548407352809302 × 6371000     		du = 167.46278252078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99036417)-sin(0.99033788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548385368624124-0.548407352809302)×R²
    abs(-0.15172029--0.15176822)×2.1984185177959e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1984185177959e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1984185177959e-05×40589641000000     		ar = 28048.3804337624m²