Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62370 / 29542
↖ ↑ ↗
← N 69.803620°
W  8.695678°		 ← 105.42 m → N 69.803620°
W  8.692932°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
N 69.802672°
W  8.695678°		 ← 105.43 m →
11 116 m²		 N 69.802672°
W  8.692932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475849151611328 y=0.225391387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475849151611328 × 217)
    floor (0.475849151611328 × 131072)
    floor (62370.5)     		tx = 62370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225391387939453 × 217)
    floor (0.225391387939453 × 131072)
    floor (29542.5)     		ty = 29542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62370 / 29542 ti = "17/62370/29542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62370/29542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62370 ÷ 217
    62370 ÷ 131072     		x = 0.475845336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29542 ÷ 217
    29542 ÷ 131072     		y = 0.225387573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475845336914062 × 2 - 1) × π
    -0.048309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15176822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225387573242188 × 2 - 1) × π
    0.549224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7254407649243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15176822} λ = -0.15176822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7254407649243))-π/2
    2×atan(5.61499537736272)-π/2
    2×1.39454966368071-π/2
    2.78909932736142-1.57079632675     		φ = 1.21830300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15176822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.695678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21830300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.803620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62370 KachelY 29542 -0.15176822 1.21830300 -8.695678 69.803620
    Oben rechts KachelX + 1 62371 KachelY 29542 -0.15172029 1.21830300 -8.692932 69.803620
    Unten links KachelX 62370 KachelY + 1 29543 -0.15176822 1.21828645 -8.695678 69.802672
    Unten rechts KachelX + 1 62371 KachelY + 1 29543 -0.15172029 1.21828645 -8.692932 69.802672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21830300-1.21828645) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21830300-1.21828645) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15176822--0.15172029) × cos(1.21830300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.345238902341881 × 6371000     		do = 105.422852054092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15176822--0.15172029) × cos(1.21828645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.345254434715161 × 6371000     		du = 105.427595051127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21830300)-sin(1.21828645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345238902341881-0.345254434715161)×R²
    abs(-0.15172029--0.15176822)×1.55323732798918e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.55323732798918e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.55323732798918e-05×40589641000000     		ar = 11116.0408430674m²