Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6237 / 6767
↖ ↑ ↗
← N 29.859701°
W 42.956543°		 ← 2 118.93 m → N 29.859701°
W 42.934570°		 →
↑
2 119.06 m
↓
↑
2 119.06 m
↓
N 29.840644°
W 42.956543°		 ← 2 119.33 m →
4 490 557 m²		 N 29.840644°
W 42.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380706787109375 y=0.413055419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380706787109375 × 214)
    floor (0.380706787109375 × 16384)
    floor (6237.5)     		tx = 6237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413055419921875 × 214)
    floor (0.413055419921875 × 16384)
    floor (6767.5)     		ty = 6767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6237 / 6767 ti = "14/6237/6767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6237/6767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6237 ÷ 214
    6237 ÷ 16384     		x = 0.38067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6767 ÷ 214
    6767 ÷ 16384     		y = 0.41302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74973311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41302490234375 × 2 - 1) × π
    0.1739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.54648065566864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74973311} λ = -0.74973311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54648065566864))-π/2
    2×atan(1.72716382495239)-π/2
    2×1.04597321530448-π/2
    2.09194643060896-1.57079632675     		φ = 0.52115010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74973311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52115010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.859701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6237 KachelY 6767 -0.74973311 0.52115010 -42.956543 29.859701
    Oben rechts KachelX + 1 6238 KachelY 6767 -0.74934961 0.52115010 -42.934570 29.859701
    Unten links KachelX 6237 KachelY + 1 6768 -0.74973311 0.52081749 -42.956543 29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 6238 KachelY + 1 6768 -0.74934961 0.52081749 -42.934570 29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52115010-0.52081749) × R
    0.000332609999999955 × 6371000     		dl = 2119.05830999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52115010-0.52081749) × R
    0.000332609999999955 × 6371000     		dr = 2119.05830999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74973311--0.74934961) × cos(0.52115010) × R
    0.000383499999999981 × 0.867247144011925 × 6371000     		do = 2118.92630115063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74973311--0.74934961) × cos(0.52081749) × R
    0.000383499999999981 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 2119.33078881308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52115010)-sin(0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867247144011925-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.74934961--0.74973311)×0.00016555118970174×R²
    0.000383499999999981×0.00016555118970174×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016555118970174×40589641000000     		ar = 4490556.99460029m²