Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6237 / 10286
↖ ↑ ↗
← S 41.738529°
W 42.956543°		 ← 1 823.15 m → S 41.738529°
W 42.934570°		 →
↑
1 822.87 m
↓
↑
1 822.87 m
↓
S 41.754922°
W 42.956543°		 ← 1 822.69 m →
3 322 945 m²		 S 41.754922°
W 42.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380706787109375 y=0.627838134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380706787109375 × 214)
    floor (0.380706787109375 × 16384)
    floor (6237.5)     		tx = 6237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627838134765625 × 214)
    floor (0.627838134765625 × 16384)
    floor (10286.5)     		ty = 10286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6237 / 10286 ti = "14/6237/10286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6237/10286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6237 ÷ 214
    6237 ÷ 16384     		x = 0.38067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10286 ÷ 214
    10286 ÷ 16384     		y = 0.6278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74973311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74973311} λ = -0.74973311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803038942435181))-π/2
    2×atan(0.447965551975595)-π/2
    2×0.421160790042159-π/2
    0.842321580084317-1.57079632675     		φ = -0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74973311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6237 KachelY 10286 -0.74973311 -0.72847475 -42.956543 -41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 6238 KachelY 10286 -0.74934961 -0.72847475 -42.934570 -41.738529
    Unten links KachelX 6237 KachelY + 1 10287 -0.74973311 -0.72876087 -42.956543 -41.754922
    Unten rechts KachelX + 1 6238 KachelY + 1 10287 -0.74934961 -0.72876087 -42.934570 -41.754922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72847475--0.72876087) × R
    0.000286120000000056 × 6371000     		dl = 1822.87052000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72847475--0.72876087) × R
    0.000286120000000056 × 6371000     		dr = 1822.87052000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74973311--0.74934961) × cos(-0.72847475) × R
    0.000383499999999981 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 1823.15164065129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74973311--0.74934961) × cos(-0.72876087) × R
    0.000383499999999981 × 0.746000168217831 × 6371000     		du = 1822.68617200292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72847475)-sin(-0.72876087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746000168217831)×R²
    abs(-0.74934961--0.74973311)×0.000190509861387578×R²
    0.000383499999999981×0.000190509861387578×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190509861387578×40589641000000     		ar = 3322945.15736372m²