Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62369 / 75237
↖ ↑ ↗
← S 25.733107°
W  8.698425°		 ← 275.14 m → S 25.733107°
W  8.695678°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
S 25.735581°
W  8.698425°		 ← 275.13 m →
75 689 m²		 S 25.735581°
W  8.695678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475841522216797 y=0.574016571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475841522216797 × 217)
    floor (0.475841522216797 × 131072)
    floor (62369.5)     		tx = 62369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574016571044922 × 217)
    floor (0.574016571044922 × 131072)
    floor (75237.5)     		ty = 75237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62369 / 75237 ti = "17/62369/75237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62369/75237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62369 ÷ 217
    62369 ÷ 131072     		x = 0.475837707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75237 ÷ 217
    75237 ÷ 131072     		y = 0.574012756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475837707519531 × 2 - 1) × π
    -0.0483245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15181616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574012756347656 × 2 - 1) × π
    -0.148025512695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.465035863214165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15181616} λ = -0.15181616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465035863214165))-π/2
    2×atan(0.628112578649778)-π/2
    2×0.56083444367331-π/2
    1.12166888734662-1.57079632675     		φ = -0.44912744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15181616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.698425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44912744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.733107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62369 KachelY 75237 -0.15181616 -0.44912744 -8.698425 -25.733107
    Oben rechts KachelX + 1 62370 KachelY 75237 -0.15176822 -0.44912744 -8.695678 -25.733107
    Unten links KachelX 62369 KachelY + 1 75238 -0.15181616 -0.44917062 -8.698425 -25.735581
    Unten rechts KachelX + 1 62370 KachelY + 1 75238 -0.15176822 -0.44917062 -8.695678 -25.735581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44912744--0.44917062) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dl = 275.099780000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44912744--0.44917062) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dr = 275.099780000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15181616--0.15176822) × cos(-0.44912744) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90082629304835 × 6371000     		do = 275.135537165728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15181616--0.15176822) × cos(-0.44917062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.90080754433021 × 6371000     		du = 275.129810824616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44912744)-sin(-0.44917062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90082629304835-0.90080754433021)×R²
    abs(-0.15176822--0.15181616)×1.87487181401158e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87487181401158e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87487181401158e-05×40589641000000     		ar = 75688.9380987144m²