Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62368 / 39135
↖ ↑ ↗
← N 58.495129°
W  8.701172°		 ← 159.61 m → N 58.495129°
W  8.698425°		 →
↑
159.59 m
↓
↑
159.59 m
↓
N 58.493694°
W  8.701172°		 ← 159.61 m →
25 473 m²		 N 58.493694°
W  8.698425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475833892822266 y=0.298580169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475833892822266 × 217)
    floor (0.475833892822266 × 131072)
    floor (62368.5)     		tx = 62368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298580169677734 × 217)
    floor (0.298580169677734 × 131072)
    floor (39135.5)     		ty = 39135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62368 / 39135 ti = "17/62368/39135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62368/39135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62368 ÷ 217
    62368 ÷ 131072     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39135 ÷ 217
    39135 ÷ 131072     		y = 0.298576354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298576354980469 × 2 - 1) × π
    0.402847290039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.2655820868691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2655820868691))-π/2
    2×atan(3.54515572422758)-π/2
    2×1.29586446327308-π/2
    2.59172892654616-1.57079632675     		φ = 1.02093260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02093260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.495129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62368 KachelY 39135 -0.15186410 1.02093260 -8.701172 58.495129
    Oben rechts KachelX + 1 62369 KachelY 39135 -0.15181616 1.02093260 -8.698425 58.495129
    Unten links KachelX 62368 KachelY + 1 39136 -0.15186410 1.02090755 -8.701172 58.493694
    Unten rechts KachelX + 1 62369 KachelY + 1 39136 -0.15181616 1.02090755 -8.698425 58.493694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02093260-1.02090755) × R
    2.5050000000082e-05 × 6371000     		dl = 159.593550000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02093260-1.02090755) × R
    2.5050000000082e-05 × 6371000     		dr = 159.593550000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15181616) × cos(1.02093260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522571047828716 × 6371000     		do = 159.606648985649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15181616) × cos(1.02090755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522592405188104 × 6371000     		du = 159.613172072944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02093260)-sin(1.02090755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522571047828716-0.522592405188104)×R²
    abs(-0.15181616--0.15186410)×2.13573593879079e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13573593879079e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13573593879079e-05×40589641000000     		ar = 25472.7122379413m²