Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62366 / 39143
↖ ↑ ↗
← N 58.483645°
W  8.706665°		 ← 159.66 m → N 58.483645°
W  8.703918°		 →
↑
159.66 m
↓
↑
159.66 m
↓
N 58.482209°
W  8.706665°		 ← 159.67 m →
25 491 m²		 N 58.482209°
W  8.703918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475818634033203 y=0.298641204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475818634033203 × 217)
    floor (0.475818634033203 × 131072)
    floor (62366.5)     		tx = 62366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298641204833984 × 217)
    floor (0.298641204833984 × 131072)
    floor (39143.5)     		ty = 39143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62366 / 39143 ti = "17/62366/39143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62366/39143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62366 ÷ 217
    62366 ÷ 131072     		x = 0.475814819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39143 ÷ 217
    39143 ÷ 131072     		y = 0.298637390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475814819335938 × 2 - 1) × π
    -0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298637390136719 × 2 - 1) × π
    0.402725219726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.26519859167214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15195997} λ = -0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26519859167214))-π/2
    2×atan(3.54379643469203)-π/2
    2×1.29576424514717-π/2
    2.59152849029434-1.57079632675     		φ = 1.02073216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02073216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.483645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62366 KachelY 39143 -0.15195997 1.02073216 -8.706665 58.483645
    Oben rechts KachelX + 1 62367 KachelY 39143 -0.15191203 1.02073216 -8.703918 58.483645
    Unten links KachelX 62366 KachelY + 1 39144 -0.15195997 1.02070710 -8.706665 58.482209
    Unten rechts KachelX + 1 62367 KachelY + 1 39144 -0.15191203 1.02070710 -8.703918 58.482209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02073216-1.02070710) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dl = 159.657260000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02073216-1.02070710) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dr = 159.657260000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15195997--0.15191203) × cos(1.02073216) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522741931620723 × 6371000     		do = 159.658841294276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15195997--0.15191203) × cos(1.02070710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522763294880566 × 6371000     		du = 159.665366183723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02073216)-sin(1.02070710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522741931620723-0.522763294880566)×R²
    abs(-0.15191203--0.15195997)×2.13632598432545e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13632598432545e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13632598432545e-05×40589641000000     		ar = 25491.2140100927m²