Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62363 / 40327
↖ ↑ ↗
← N 56.742181°
W  8.714905°		 ← 167.46 m → N 56.742181°
W  8.712158°		 →
↑
167.49 m
↓
↑
167.49 m
↓
N 56.740675°
W  8.714905°		 ← 167.47 m →
28 050 m²		 N 56.740675°
W  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475795745849609 y=0.307674407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475795745849609 × 217)
    floor (0.475795745849609 × 131072)
    floor (62363.5)     		tx = 62363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307674407958984 × 217)
    floor (0.307674407958984 × 131072)
    floor (40327.5)     		ty = 40327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62363 / 40327 ti = "17/62363/40327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62363/40327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62363 ÷ 217
    62363 ÷ 131072     		x = 0.475791931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40327 ÷ 217
    40327 ÷ 131072     		y = 0.307670593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475791931152344 × 2 - 1) × π
    -0.0484161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15210378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307670593261719 × 2 - 1) × π
    0.384658813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.208441302522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15210378} λ = -0.15210378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.208441302522))-π/2
    2×atan(3.34826165607174)-π/2
    2×1.28056710177178-π/2
    2.56113420354356-1.57079632675     		φ = 0.99033788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15210378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.714905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99033788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.742181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62363 KachelY 40327 -0.15210378 0.99033788 -8.714905 56.742181
    Oben rechts KachelX + 1 62364 KachelY 40327 -0.15205585 0.99033788 -8.712158 56.742181
    Unten links KachelX 62363 KachelY + 1 40328 -0.15210378 0.99031159 -8.714905 56.740675
    Unten rechts KachelX + 1 62364 KachelY + 1 40328 -0.15205585 0.99031159 -8.712158 56.740675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99033788-0.99031159) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dl = 167.493589999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99033788-0.99031159) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dr = 167.493589999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15210378--0.15205585) × cos(0.99033788) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548407352809302 × 6371000     		do = 167.46278252078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15210378--0.15205585) × cos(0.99031159) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54842933661544 × 6371000     		du = 167.46949554045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99033788)-sin(0.99031159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548407352809302-0.54842933661544)×R²
    abs(-0.15205585--0.15210378)×2.19838061384925e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19838061384925e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19838061384925e-05×40589641000000     		ar = 28049.5048314167m²