Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62362 / 39138
↖ ↑ ↗
← N 58.490823°
W  8.717651°		 ← 159.63 m → N 58.490823°
W  8.714905°		 →
↑
159.59 m
↓
↑
159.59 m
↓
N 58.489388°
W  8.717651°		 ← 159.63 m →
25 476 m²		 N 58.489388°
W  8.714905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475788116455078 y=0.298603057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475788116455078 × 217)
    floor (0.475788116455078 × 131072)
    floor (62362.5)     		tx = 62362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298603057861328 × 217)
    floor (0.298603057861328 × 131072)
    floor (39138.5)     		ty = 39138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62362 / 39138 ti = "17/62362/39138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62362/39138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62362 ÷ 217
    62362 ÷ 131072     		x = 0.475784301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39138 ÷ 217
    39138 ÷ 131072     		y = 0.298599243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475784301757812 × 2 - 1) × π
    -0.048431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15215172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298599243164062 × 2 - 1) × π
    0.402801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26543827617024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15215172} λ = -0.15215172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26543827617024))-π/2
    2×atan(3.54464592956315)-π/2
    2×1.29582688531559-π/2
    2.59165377063118-1.57079632675     		φ = 1.02085744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15215172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.717651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02085744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.490823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62362 KachelY 39138 -0.15215172 1.02085744 -8.717651 58.490823
    Oben rechts KachelX + 1 62363 KachelY 39138 -0.15210378 1.02085744 -8.714905 58.490823
    Unten links KachelX 62362 KachelY + 1 39139 -0.15215172 1.02083239 -8.717651 58.489388
    Unten rechts KachelX + 1 62363 KachelY + 1 39139 -0.15210378 1.02083239 -8.714905 58.489388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02085744-1.02083239) × R
    2.50499999998599e-05 × 6371000     		dl = 159.593549999107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02085744-1.02083239) × R
    2.50499999998599e-05 × 6371000     		dr = 159.593549999107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15215172--0.15210378) × cos(1.02085744) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522635127448647 × 6371000     		do = 159.626220550985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15215172--0.15210378) × cos(1.02083239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522656483824079 × 6371000     		du = 159.632743337755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02085744)-sin(1.02083239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522635127448647-0.522656483824079)×R²
    abs(-0.15210378--0.15215172)×2.13563754324353e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13563754324353e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13563754324353e-05×40589641000000     		ar = 25475.8357094408m²