Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62361 / 39145
↖ ↑ ↗
← N 58.480773°
W  8.720398°		 ← 159.67 m → N 58.480773°
W  8.717651°		 →
↑
159.66 m
↓
↑
159.66 m
↓
N 58.479337°
W  8.720398°		 ← 159.68 m →
25 493 m²		 N 58.479337°
W  8.717651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475780487060547 y=0.298656463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475780487060547 × 217)
    floor (0.475780487060547 × 131072)
    floor (62361.5)     		tx = 62361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298656463623047 × 217)
    floor (0.298656463623047 × 131072)
    floor (39145.5)     		ty = 39145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62361 / 39145 ti = "17/62361/39145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62361/39145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62361 ÷ 217
    62361 ÷ 131072     		x = 0.475776672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39145 ÷ 217
    39145 ÷ 131072     		y = 0.298652648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475776672363281 × 2 - 1) × π
    -0.0484466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15219966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298652648925781 × 2 - 1) × π
    0.402694702148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2651027178729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15219966} λ = -0.15219966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2651027178729))-π/2
    2×atan(3.54345669375049)-π/2
    2×1.29573918549575-π/2
    2.5914783709915-1.57079632675     		φ = 1.02068204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15219966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.720398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02068204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.480773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62361 KachelY 39145 -0.15219966 1.02068204 -8.720398 58.480773
    Oben rechts KachelX + 1 62362 KachelY 39145 -0.15215172 1.02068204 -8.717651 58.480773
    Unten links KachelX 62361 KachelY + 1 39146 -0.15219966 1.02065698 -8.720398 58.479337
    Unten rechts KachelX + 1 62362 KachelY + 1 39146 -0.15215172 1.02065698 -8.717651 58.479337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02068204-1.02065698) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dl = 159.657260000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02068204-1.02065698) × R
    2.50600000000212e-05 × 6371000     		dr = 159.657260000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15219966--0.15215172) × cos(1.02068204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522784657812112 × 6371000     		do = 159.671890972899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15219966--0.15215172) × cos(1.02065698) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522806020415347 × 6371000     		du = 159.6784156618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02068204)-sin(1.02065698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522784657812112-0.522806020415347)×R²
    abs(-0.15215172--0.15219966)×2.13626032353753e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13626032353753e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13626032353753e-05×40589641000000     		ar = 25493.2974701296m²