Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62360 / 40332
↖ ↑ ↗
← N 56.734649°
W  8.723144°		 ← 167.50 m → N 56.734649°
W  8.720398°		 →
↑
167.56 m
↓
↑
167.56 m
↓
N 56.733142°
W  8.723144°		 ← 167.50 m →
28 066 m²		 N 56.733142°
W  8.720398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475772857666016 y=0.307712554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475772857666016 × 217)
    floor (0.475772857666016 × 131072)
    floor (62360.5)     		tx = 62360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307712554931641 × 217)
    floor (0.307712554931641 × 131072)
    floor (40332.5)     		ty = 40332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62360 / 40332 ti = "17/62360/40332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62360/40332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62360 ÷ 217
    62360 ÷ 131072     		x = 0.47576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40332 ÷ 217
    40332 ÷ 131072     		y = 0.307708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307708740234375 × 2 - 1) × π
    0.38458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2082016180239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15224759} λ = -0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2082016180239))-π/2
    2×atan(3.34745922582609)-π/2
    2×1.28050137281438-π/2
    2.56100274562877-1.57079632675     		φ = 0.99020642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99020642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.734649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62360 KachelY 40332 -0.15224759 0.99020642 -8.723144 56.734649
    Oben rechts KachelX + 1 62361 KachelY 40332 -0.15219966 0.99020642 -8.720398 56.734649
    Unten links KachelX 62360 KachelY + 1 40333 -0.15224759 0.99018012 -8.723144 56.733142
    Unten rechts KachelX + 1 62361 KachelY + 1 40333 -0.15219966 0.99018012 -8.720398 56.733142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99020642-0.99018012) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dl = 167.557300000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99020642-0.99018012) × R
    2.63000000000346e-05 × 6371000     		dr = 167.557300000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15224759--0.15219966) × cos(0.99020642) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548517276410688 × 6371000     		do = 167.496349014844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15224759--0.15219966) × cos(0.99018012) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548539266682505 × 6371000     		du = 167.503064008887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99020642)-sin(0.99018012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548517276410688-0.548539266682505)×R²
    abs(-0.15219966--0.15224759)×2.19902718170406e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19902718170406e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19902718170406e-05×40589641000000     		ar = 28065.7985753776m²