Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62358 / 34156
↖ ↑ ↗
← N 64.946813°
W  8.728638°		 ← 129.34 m → N 64.946813°
W  8.725891°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
N 64.945650°
W  8.728638°		 ← 129.34 m →
16 727 m²		 N 64.945650°
W  8.725891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475757598876953 y=0.260593414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475757598876953 × 217)
    floor (0.475757598876953 × 131072)
    floor (62358.5)     		tx = 62358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260593414306641 × 217)
    floor (0.260593414306641 × 131072)
    floor (34156.5)     		ty = 34156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62358 / 34156 ti = "17/62358/34156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62358/34156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62358 ÷ 217
    62358 ÷ 131072     		x = 0.475753784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34156 ÷ 217
    34156 ÷ 131072     		y = 0.260589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475753784179688 × 2 - 1) × π
    -0.048492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15234347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260589599609375 × 2 - 1) × π
    0.47882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50425991007736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15234347} λ = -0.15234347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50425991007736))-π/2
    2×atan(4.50082138480944)-π/2
    2×1.35216602760152-π/2
    2.70433205520303-1.57079632675     		φ = 1.13353573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15234347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.728638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13353573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.946813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62358 KachelY 34156 -0.15234347 1.13353573 -8.728638 64.946813
    Oben rechts KachelX + 1 62359 KachelY 34156 -0.15229553 1.13353573 -8.725891 64.946813
    Unten links KachelX 62358 KachelY + 1 34157 -0.15234347 1.13351543 -8.728638 64.945650
    Unten rechts KachelX + 1 62359 KachelY + 1 34157 -0.15229553 1.13351543 -8.725891 64.945650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13353573-1.13351543) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dl = 129.331299999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13353573-1.13351543) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dr = 129.331299999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15234347--0.15229553) × cos(1.13353573) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423459390365703 × 6371000     		do = 129.335397662384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15234347--0.15229553) × cos(1.13351543) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423477780354714 × 6371000     		du = 129.341014438386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13353573)-sin(1.13351543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423459390365703-0.423477780354714)×R²
    abs(-0.15229553--0.15234347)×1.83899890113803e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83899890113803e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83899890113803e-05×40589641000000     		ar = 16727.4783287706m²