Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62355 / 34158
↖ ↑ ↗
← N 64.944487°
W  8.736878°		 ← 129.35 m → N 64.944487°
W  8.734131°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
N 64.943324°
W  8.736878°		 ← 129.35 m →
16 729 m²		 N 64.943324°
W  8.734131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475734710693359 y=0.260608673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475734710693359 × 217)
    floor (0.475734710693359 × 131072)
    floor (62355.5)     		tx = 62355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260608673095703 × 217)
    floor (0.260608673095703 × 131072)
    floor (34158.5)     		ty = 34158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62355 / 34158 ti = "17/62355/34158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62355/34158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62355 ÷ 217
    62355 ÷ 131072     		x = 0.475730895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34158 ÷ 217
    34158 ÷ 131072     		y = 0.260604858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475730895996094 × 2 - 1) × π
    -0.0485382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15248728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260604858398438 × 2 - 1) × π
    0.478790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50416403627812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15248728} λ = -0.15248728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50416403627812))-π/2
    2×atan(4.50038989464821)-π/2
    2×1.3521457273896-π/2
    2.70429145477921-1.57079632675     		φ = 1.13349513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15248728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.736878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13349513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.944487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62355 KachelY 34158 -0.15248728 1.13349513 -8.736878 64.944487
    Oben rechts KachelX + 1 62356 KachelY 34158 -0.15243934 1.13349513 -8.734131 64.944487
    Unten links KachelX 62355 KachelY + 1 34159 -0.15248728 1.13347483 -8.736878 64.943324
    Unten rechts KachelX + 1 62356 KachelY + 1 34159 -0.15243934 1.13347483 -8.734131 64.943324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13349513-1.13347483) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dl = 129.331300000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13349513-1.13347483) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dr = 129.331300000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15248728--0.15243934) × cos(1.13349513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		do = 129.346631161088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15248728--0.15243934) × cos(1.13347483) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423514559809197 × 6371000     		du = 129.352247830488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13349513)-sin(1.13347483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423496170169215-0.423514559809197)×R²
    abs(-0.15243934--0.15248728)×1.83896399821304e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83896399821304e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83896399821304e-05×40589641000000     		ar = 16728.9311647878m²