Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62353 / 29482
↖ ↑ ↗
← N 69.860437°
W  8.742371°		 ← 105.16 m → N 69.860437°
W  8.739624°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 69.859491°
W  8.742371°		 ← 105.17 m →
11 055 m²		 N 69.859491°
W  8.739624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475719451904297 y=0.224933624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475719451904297 × 217)
    floor (0.475719451904297 × 131072)
    floor (62353.5)     		tx = 62353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224933624267578 × 217)
    floor (0.224933624267578 × 131072)
    floor (29482.5)     		ty = 29482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62353 / 29482 ti = "17/62353/29482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62353/29482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62353 ÷ 217
    62353 ÷ 131072     		x = 0.475715637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29482 ÷ 217
    29482 ÷ 131072     		y = 0.224929809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475715637207031 × 2 - 1) × π
    -0.0485687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15258315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224929809570312 × 2 - 1) × π
    0.550140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7283169789015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15258315} λ = -0.15258315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7283169789015))-π/2
    2×atan(5.63116855315664)-π/2
    2×1.39504548457375-π/2
    2.7900909691475-1.57079632675     		φ = 1.21929464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15258315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.742371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21929464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.860437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62353 KachelY 29482 -0.15258315 1.21929464 -8.742371 69.860437
    Oben rechts KachelX + 1 62354 KachelY 29482 -0.15253521 1.21929464 -8.739624 69.860437
    Unten links KachelX 62353 KachelY + 1 29483 -0.15258315 1.21927814 -8.742371 69.859491
    Unten rechts KachelX + 1 62354 KachelY + 1 29483 -0.15253521 1.21927814 -8.739624 69.859491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21929464-1.21927814) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21929464-1.21927814) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15258315--0.15253521) × cos(1.21929464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.344308063895593 × 6371000     		do = 105.160545203271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15258315--0.15253521) × cos(1.21927814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.344323554984748 × 6371000     		du = 105.165276580639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21929464)-sin(1.21927814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344308063895593-0.344323554984748)×R²
    abs(-0.15253521--0.15258315)×1.54910891549953e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54910891549953e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54910891549953e-05×40589641000000     		ar = 11054.8829377492m²