Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62352 / 34608
↖ ↑ ↗
← N 64.415921°
W  8.745117°		 ← 131.89 m → N 64.415921°
W  8.742371°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
N 64.414735°
W  8.745117°		 ← 131.90 m →
17 394 m²		 N 64.414735°
W  8.742371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475711822509766 y=0.264041900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475711822509766 × 217)
    floor (0.475711822509766 × 131072)
    floor (62352.5)     		tx = 62352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264041900634766 × 217)
    floor (0.264041900634766 × 131072)
    floor (34608.5)     		ty = 34608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62352 / 34608 ti = "17/62352/34608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62352/34608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62352 ÷ 217
    62352 ÷ 131072     		x = 0.4757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34608 ÷ 217
    34608 ÷ 131072     		y = 0.2640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2640380859375 × 2 - 1) × π
    0.471923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4825924314491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15263109} λ = -0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4825924314491))-π/2
    2×atan(4.40434886605758)-π/2
    2×1.34753312362181-π/2
    2.69506624724361-1.57079632675     		φ = 1.12426992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12426992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.415921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62352 KachelY 34608 -0.15263109 1.12426992 -8.745117 64.415921
    Oben rechts KachelX + 1 62353 KachelY 34608 -0.15258315 1.12426992 -8.742371 64.415921
    Unten links KachelX 62352 KachelY + 1 34609 -0.15263109 1.12424922 -8.745117 64.414735
    Unten rechts KachelX + 1 62353 KachelY + 1 34609 -0.15258315 1.12424922 -8.742371 64.414735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12426992-1.12424922) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dl = 131.879699999195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12426992-1.12424922) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dr = 131.879699999195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15263109--0.15258315) × cos(1.12426992) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431835129353087 × 6371000     		do = 131.893563940652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15263109--0.15258315) × cos(1.12424922) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431853799678566 × 6371000     		du = 131.899266338628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12426992)-sin(1.12424922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431835129353087-0.431853799678566)×R²
    abs(-0.15258315--0.15263109)×1.86703254785314e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86703254785314e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86703254785314e-05×40589641000000     		ar = 17394.4596600616m²