Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62351 / 29486
↖ ↑ ↗
← N 69.856654°
W  8.747864°		 ← 105.18 m → N 69.856654°
W  8.745117°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 69.855708°
W  8.747864°		 ← 105.18 m →
11 064 m²		 N 69.855708°
W  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475704193115234 y=0.224964141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475704193115234 × 217)
    floor (0.475704193115234 × 131072)
    floor (62351.5)     		tx = 62351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224964141845703 × 217)
    floor (0.224964141845703 × 131072)
    floor (29486.5)     		ty = 29486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62351 / 29486 ti = "17/62351/29486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62351/29486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62351 ÷ 217
    62351 ÷ 131072     		x = 0.475700378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29486 ÷ 217
    29486 ÷ 131072     		y = 0.224960327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475700378417969 × 2 - 1) × π
    -0.0485992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15267903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224960327148438 × 2 - 1) × π
    0.550079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72812523130302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15267903} λ = -0.15267903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72812523130302))-π/2
    2×atan(5.6300888936243)-π/2
    2×1.39501247148031-π/2
    2.79002494296062-1.57079632675     		φ = 1.21922862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15267903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.747864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21922862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.856654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62351 KachelY 29486 -0.15267903 1.21922862 -8.747864 69.856654
    Oben rechts KachelX + 1 62352 KachelY 29486 -0.15263109 1.21922862 -8.745117 69.856654
    Unten links KachelX 62351 KachelY + 1 29487 -0.15267903 1.21921211 -8.747864 69.855708
    Unten rechts KachelX + 1 62352 KachelY + 1 29487 -0.15263109 1.21921211 -8.745117 69.855708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21922862-1.21921211) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21922862-1.21921211) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15267903--0.15263109) × cos(1.21922862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.344370046466423 × 6371000     		do = 105.179476275834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15267903--0.15263109) × cos(1.21921211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.344385546568754 × 6371000     		du = 105.184210406058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21922862)-sin(1.21921211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344370046466423-0.344385546568754)×R²
    abs(-0.15263109--0.15267903)×1.55001023307011e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55001023307011e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55001023307011e-05×40589641000000     		ar = 11063.574280075m²