Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62349 / 29527
↖ ↑ ↗
← N 69.817839°
W  8.753357°		 ← 105.37 m → N 69.817839°
W  8.750610°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 69.816891°
W  8.753357°		 ← 105.38 m →
11 104 m²		 N 69.816891°
W  8.750610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475688934326172 y=0.225276947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475688934326172 × 217)
    floor (0.475688934326172 × 131072)
    floor (62349.5)     		tx = 62349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225276947021484 × 217)
    floor (0.225276947021484 × 131072)
    floor (29527.5)     		ty = 29527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62349 / 29527 ti = "17/62349/29527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62349/29527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62349 ÷ 217
    62349 ÷ 131072     		x = 0.475685119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29527 ÷ 217
    29527 ÷ 131072     		y = 0.225273132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475685119628906 × 2 - 1) × π
    -0.0486297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15277490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225273132324219 × 2 - 1) × π
    0.549453735351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.7261598184186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15277490} λ = -0.15277490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7261598184186))-π/2
    2×atan(5.61903431134007)-π/2
    2×1.39467374442661-π/2
    2.78934748885323-1.57079632675     		φ = 1.21855116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15277490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.753357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21855116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.817839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62349 KachelY 29527 -0.15277490 1.21855116 -8.753357 69.817839
    Oben rechts KachelX + 1 62350 KachelY 29527 -0.15272696 1.21855116 -8.750610 69.817839
    Unten links KachelX 62349 KachelY + 1 29528 -0.15277490 1.21853462 -8.753357 69.816891
    Unten rechts KachelX + 1 62350 KachelY + 1 29528 -0.15272696 1.21853462 -8.750610 69.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21855116-1.21853462) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21855116-1.21853462) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15277490--0.15272696) × cos(1.21855116) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.345005989871694 × 6371000     		do = 105.373709760986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15277490--0.15272696) × cos(1.21853462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.345021514276492 × 6371000     		du = 105.37845131381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21855116)-sin(1.21853462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345005989871694-0.345021514276492)×R²
    abs(-0.15272696--0.15277490)×1.55244047985725e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55244047985725e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55244047985725e-05×40589641000000     		ar = 11104.1456908754m²