Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62348 / 39564
↖ ↑ ↗
← N 57.873975°
W  8.756104°		 ← 162.42 m → N 57.873975°
W  8.753357°		 →
↑
162.40 m
↓
↑
162.40 m
↓
N 57.872514°
W  8.756104°		 ← 162.43 m →
26 377 m²		 N 57.872514°
W  8.753357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475681304931641 y=0.301853179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475681304931641 × 217)
    floor (0.475681304931641 × 131072)
    floor (62348.5)     		tx = 62348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301853179931641 × 217)
    floor (0.301853179931641 × 131072)
    floor (39564.5)     		ty = 39564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62348 / 39564 ti = "17/62348/39564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62348/39564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62348 ÷ 217
    62348 ÷ 131072     		x = 0.475677490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39564 ÷ 217
    39564 ÷ 131072     		y = 0.301849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301849365234375 × 2 - 1) × π
    0.39630126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2450171569321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15282284} λ = -0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2450171569321))-π/2
    2×atan(3.47299438475451)-π/2
    2×1.29044386723822-π/2
    2.58088773447644-1.57079632675     		φ = 1.01009141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01009141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.873975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62348 KachelY 39564 -0.15282284 1.01009141 -8.756104 57.873975
    Oben rechts KachelX + 1 62349 KachelY 39564 -0.15277490 1.01009141 -8.753357 57.873975
    Unten links KachelX 62348 KachelY + 1 39565 -0.15282284 1.01006592 -8.756104 57.872514
    Unten rechts KachelX + 1 62349 KachelY + 1 39565 -0.15277490 1.01006592 -8.753357 57.872514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01009141-1.01006592) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dl = 162.396790000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01009141-1.01006592) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dr = 162.396790000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15282284--0.15277490) × cos(1.01009141) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531783310253489 × 6371000     		do = 162.420311053809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15282284--0.15277490) × cos(1.01006592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531804897063613 × 6371000     		du = 162.426904221265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01009141)-sin(1.01006592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531783310253489-0.531804897063613)×R²
    abs(-0.15277490--0.15282284)×2.15868101235417e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15868101235417e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15868101235417e-05×40589641000000     		ar = 26377.0725020123m²