Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62347 / 39555
↖ ↑ ↗
← N 57.887117°
W  8.758850°		 ← 162.33 m → N 57.887117°
W  8.756104°		 →
↑
162.33 m
↓
↑
162.33 m
↓
N 57.885657°
W  8.758850°		 ← 162.33 m →
26 352 m²		 N 57.885657°
W  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475673675537109 y=0.301784515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475673675537109 × 217)
    floor (0.475673675537109 × 131072)
    floor (62347.5)     		tx = 62347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301784515380859 × 217)
    floor (0.301784515380859 × 131072)
    floor (39555.5)     		ty = 39555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62347 / 39555 ti = "17/62347/39555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62347/39555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62347 ÷ 217
    62347 ÷ 131072     		x = 0.475669860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39555 ÷ 217
    39555 ÷ 131072     		y = 0.301780700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475669860839844 × 2 - 1) × π
    -0.0486602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15287077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301780700683594 × 2 - 1) × π
    0.396438598632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.24544858902868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15287077} λ = -0.15287077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24544858902868))-π/2
    2×atan(3.47449306927039)-π/2
    2×1.29055856047778-π/2
    2.58111712095556-1.57079632675     		φ = 1.01032079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15287077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.758850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01032079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.887117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62347 KachelY 39555 -0.15287077 1.01032079 -8.758850 57.887117
    Oben rechts KachelX + 1 62348 KachelY 39555 -0.15282284 1.01032079 -8.756104 57.887117
    Unten links KachelX 62347 KachelY + 1 39556 -0.15287077 1.01029531 -8.758850 57.885657
    Unten rechts KachelX + 1 62348 KachelY + 1 39556 -0.15282284 1.01029531 -8.756104 57.885657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01032079-1.01029531) × R
    2.54799999999111e-05 × 6371000     		dl = 162.333079999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01032079-1.01029531) × R
    2.54799999999111e-05 × 6371000     		dr = 162.333079999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15287077--0.15282284) × cos(1.01032079) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.531589038825691 × 6371000     		do = 162.327108021567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15287077--0.15282284) × cos(1.01029531) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.531610620274702 × 6371000     		du = 162.333698176648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01032079)-sin(1.01029531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531589038825691-0.531610620274702)×R²
    abs(-0.15282284--0.15287077)×2.1581449011765e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1581449011765e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1581449011765e-05×40589641000000     		ar = 26351.5943139884m²