Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62347 / 38763
↖ ↑ ↗
← N 59.025009°
W  8.758850°		 ← 157.16 m → N 59.025009°
W  8.756104°		 →
↑
157.24 m
↓
↑
157.24 m
↓
N 59.023595°
W  8.758850°		 ← 157.17 m →
24 712 m²		 N 59.023595°
W  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475673675537109 y=0.295742034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475673675537109 × 217)
    floor (0.475673675537109 × 131072)
    floor (62347.5)     		tx = 62347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295742034912109 × 217)
    floor (0.295742034912109 × 131072)
    floor (38763.5)     		ty = 38763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62347 / 38763 ti = "17/62347/38763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62347/38763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62347 ÷ 217
    62347 ÷ 131072     		x = 0.475669860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38763 ÷ 217
    38763 ÷ 131072     		y = 0.295738220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475669860839844 × 2 - 1) × π
    -0.0486602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15287077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295738220214844 × 2 - 1) × π
    0.408523559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28341461352776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15287077} λ = -0.15287077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28341461352776))-π/2
    2×atan(3.60894185178085)-π/2
    2×1.30048853654197-π/2
    2.60097707308395-1.57079632675     		φ = 1.03018075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15287077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.758850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03018075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.025009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62347 KachelY 38763 -0.15287077 1.03018075 -8.758850 59.025009
    Oben rechts KachelX + 1 62348 KachelY 38763 -0.15282284 1.03018075 -8.756104 59.025009
    Unten links KachelX 62347 KachelY + 1 38764 -0.15287077 1.03015607 -8.758850 59.023595
    Unten rechts KachelX + 1 62348 KachelY + 1 38764 -0.15282284 1.03015607 -8.756104 59.023595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03018075-1.03015607) × R
    2.46799999998881e-05 × 6371000     		dl = 157.236279999287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03018075-1.03015607) × R
    2.46799999998881e-05 × 6371000     		dr = 157.236279999287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15287077--0.15282284) × cos(1.03018075) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.514663879768793 × 6371000     		do = 157.15880709388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15287077--0.15282284) × cos(1.03015607) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.514685040047317 × 6371000     		du = 157.165268639485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03018075)-sin(1.03015607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514663879768793-0.514685040047317)×R²
    abs(-0.15282284--0.15287077)×2.11602785242793e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11602785242793e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11602785242793e-05×40589641000000     		ar = 24711.5741924127m²