Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62346 / 39554
↖ ↑ ↗
← N 57.888578°
W  8.761597°		 ← 162.35 m → N 57.888578°
W  8.758850°		 →
↑
162.40 m
↓
↑
162.40 m
↓
N 57.887117°
W  8.761597°		 ← 162.36 m →
26 366 m²		 N 57.887117°
W  8.758850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475666046142578 y=0.301776885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475666046142578 × 217)
    floor (0.475666046142578 × 131072)
    floor (62346.5)     		tx = 62346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301776885986328 × 217)
    floor (0.301776885986328 × 131072)
    floor (39554.5)     		ty = 39554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62346 / 39554 ti = "17/62346/39554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62346/39554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62346 ÷ 217
    62346 ÷ 131072     		x = 0.475662231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39554 ÷ 217
    39554 ÷ 131072     		y = 0.301773071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475662231445312 × 2 - 1) × π
    -0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301773071289062 × 2 - 1) × π
    0.396453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2454965259283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15291871} λ = -0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2454965259283))-π/2
    2×atan(3.47465962968805)-π/2
    2×1.29057130158423-π/2
    2.58114260316846-1.57079632675     		φ = 1.01034628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01034628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.888578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62346 KachelY 39554 -0.15291871 1.01034628 -8.761597 57.888578
    Oben rechts KachelX + 1 62347 KachelY 39554 -0.15287077 1.01034628 -8.758850 57.888578
    Unten links KachelX 62346 KachelY + 1 39555 -0.15291871 1.01032079 -8.761597 57.887117
    Unten rechts KachelX + 1 62347 KachelY + 1 39555 -0.15287077 1.01032079 -8.758850 57.887117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01034628-1.01032079) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dl = 162.396790000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01034628-1.01032079) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dr = 162.396790000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15291871--0.15287077) × cos(1.01034628) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531567448561395 × 6371000     		do = 162.354381336858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15291871--0.15287077) × cos(1.01032079) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531589038825691 × 6371000     		du = 162.360975559307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01034628)-sin(1.01032079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531567448561395-0.531589038825691)×R²
    abs(-0.15287077--0.15291871)×2.15902642953791e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15902642953791e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15902642953791e-05×40589641000000     		ar = 26366.3658134545m²