Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62344 / 33977
↖ ↑ ↗
← N 65.154194°
W  8.767090°		 ← 128.31 m → N 65.154194°
W  8.764343°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 65.153040°
W  8.767090°		 ← 128.31 m →
16 464 m²		 N 65.153040°
W  8.764343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475650787353516 y=0.259227752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475650787353516 × 217)
    floor (0.475650787353516 × 131072)
    floor (62344.5)     		tx = 62344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259227752685547 × 217)
    floor (0.259227752685547 × 131072)
    floor (33977.5)     		ty = 33977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62344 / 33977 ti = "17/62344/33977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62344/33977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62344 ÷ 217
    62344 ÷ 131072     		x = 0.47564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33977 ÷ 217
    33977 ÷ 131072     		y = 0.259223937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.0487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15301458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259223937988281 × 2 - 1) × π
    0.481552124023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51284061510935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15301458} λ = -0.15301458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51284061510935))-π/2
    2×atan(4.53960777481845)-π/2
    2×1.35397577066168-π/2
    2.70795154132336-1.57079632675     		φ = 1.13715521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15301458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13715521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.154194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62344 KachelY 33977 -0.15301458 1.13715521 -8.767090 65.154194
    Oben rechts KachelX + 1 62345 KachelY 33977 -0.15296665 1.13715521 -8.764343 65.154194
    Unten links KachelX 62344 KachelY + 1 33978 -0.15301458 1.13713507 -8.767090 65.153040
    Unten rechts KachelX + 1 62345 KachelY + 1 33978 -0.15296665 1.13713507 -8.764343 65.153040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13715521-1.13713507) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13715521-1.13713507) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15301458--0.15296665) × cos(1.13715521) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.420177682195732 × 6371000     		do = 128.306309995988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15301458--0.15296665) × cos(1.13713507) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.420195957989421 × 6371000     		du = 128.311890729449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13715521)-sin(1.13713507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420177682195732-0.420195957989421)×R²
    abs(-0.15296665--0.15301458)×1.82757936887379e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82757936887379e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82757936887379e-05×40589641000000     		ar = 16463.5895877162m²