Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62343 / 40087
↖ ↑ ↗
← N 57.101944°
W  8.769836°		 ← 165.89 m → N 57.101944°
W  8.767090°		 →
↑
165.90 m
↓
↑
165.90 m
↓
N 57.100452°
W  8.769836°		 ← 165.90 m →
27 522 m²		 N 57.100452°
W  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475643157958984 y=0.305843353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475643157958984 × 217)
    floor (0.475643157958984 × 131072)
    floor (62343.5)     		tx = 62343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305843353271484 × 217)
    floor (0.305843353271484 × 131072)
    floor (40087.5)     		ty = 40087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62343 / 40087 ti = "17/62343/40087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62343/40087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62343 ÷ 217
    62343 ÷ 131072     		x = 0.475639343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40087 ÷ 217
    40087 ÷ 131072     		y = 0.305839538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475639343261719 × 2 - 1) × π
    -0.0487213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15306252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305839538574219 × 2 - 1) × π
    0.388320922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.21994615843081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15306252} λ = -0.15306252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21994615843081))-π/2
    2×atan(3.38700536702811)-π/2
    2×1.28370662868513-π/2
    2.56741325737026-1.57079632675     		φ = 0.99661693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15306252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.769836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99661693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.101944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62343 KachelY 40087 -0.15306252 0.99661693 -8.769836 57.101944
    Oben rechts KachelX + 1 62344 KachelY 40087 -0.15301458 0.99661693 -8.767090 57.101944
    Unten links KachelX 62343 KachelY + 1 40088 -0.15306252 0.99659089 -8.769836 57.100452
    Unten rechts KachelX + 1 62344 KachelY + 1 40088 -0.15301458 0.99659089 -8.767090 57.100452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99661693-0.99659089) × R
    2.60399999999494e-05 × 6371000     		dl = 165.900839999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99661693-0.99659089) × R
    2.60399999999494e-05 × 6371000     		dr = 165.900839999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15306252--0.15301458) × cos(0.99661693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543145963761524 × 6371000     		do = 165.890757909864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15306252--0.15301458) × cos(0.99659089) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543167827758507 × 6371000     		du = 165.897435737322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99661693)-sin(0.99659089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543145963761524-0.543167827758507)×R²
    abs(-0.15301458--0.15306252)×2.18639969826739e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18639969826739e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18639969826739e-05×40589641000000     		ar = 27521.970015676m²