Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62343 / 38793
↖ ↑ ↗
← N 58.982576°
W  8.769836°		 ← 157.39 m → N 58.982576°
W  8.767090°		 →
↑
157.36 m
↓
↑
157.36 m
↓
N 58.981161°
W  8.769836°		 ← 157.39 m →
24 767 m²		 N 58.981161°
W  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475643157958984 y=0.295970916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475643157958984 × 217)
    floor (0.475643157958984 × 131072)
    floor (62343.5)     		tx = 62343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295970916748047 × 217)
    floor (0.295970916748047 × 131072)
    floor (38793.5)     		ty = 38793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62343 / 38793 ti = "17/62343/38793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62343/38793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62343 ÷ 217
    62343 ÷ 131072     		x = 0.475639343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38793 ÷ 217
    38793 ÷ 131072     		y = 0.295967102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475639343261719 × 2 - 1) × π
    -0.0487213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15306252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295967102050781 × 2 - 1) × π
    0.408065795898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28197650653916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15306252} λ = -0.15306252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28197650653916))-π/2
    2×atan(3.60375553741366)-π/2
    2×1.30011823746593-π/2
    2.60023647493185-1.57079632675     		φ = 1.02944015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15306252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.769836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02944015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.982576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62343 KachelY 38793 -0.15306252 1.02944015 -8.769836 58.982576
    Oben rechts KachelX + 1 62344 KachelY 38793 -0.15301458 1.02944015 -8.767090 58.982576
    Unten links KachelX 62343 KachelY + 1 38794 -0.15306252 1.02941545 -8.769836 58.981161
    Unten rechts KachelX + 1 62344 KachelY + 1 38794 -0.15301458 1.02941545 -8.767090 58.981161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02944015-1.02941545) × R
    2.47000000002107e-05 × 6371000     		dl = 157.363700001342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02944015-1.02941545) × R
    2.47000000002107e-05 × 6371000     		dr = 157.363700001342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15306252--0.15301458) × cos(1.02944015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515298723103626 × 6371000     		do = 157.385493824968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15306252--0.15301458) × cos(1.02941545) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515319891109083 × 6371000     		du = 157.391959078699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02944015)-sin(1.02941545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515298723103626-0.515319891109083)×R²
    abs(-0.15301458--0.15306252)×2.11680054565955e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11680054565955e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11680054565955e-05×40589641000000     		ar = 24767.2723342266m²