Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6234 / 10552
↖ ↑ ↗
← S 45.951150°
W 43.022461°		 ← 1 698.74 m → S 45.951150°
W 43.000488°		 →
↑
1 698.44 m
↓
↑
1 698.44 m
↓
S 45.966424°
W 43.022461°		 ← 1 698.27 m →
2 884 822 m²		 S 45.966424°
W 43.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380523681640625 y=0.644073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380523681640625 × 214)
    floor (0.380523681640625 × 16384)
    floor (6234.5)     		tx = 6234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644073486328125 × 214)
    floor (0.644073486328125 × 16384)
    floor (10552.5)     		ty = 10552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6234 / 10552 ti = "14/6234/10552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6234/10552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6234 ÷ 214
    6234 ÷ 16384     		x = 0.3804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10552 ÷ 214
    10552 ÷ 16384     		y = 0.64404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75088360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75088360} λ = -0.75088360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90504866482666))-π/2
    2×atan(0.404522198621327)-π/2
    2×0.384398734851678-π/2
    0.768797469703356-1.57079632675     		φ = -0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75088360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6234 KachelY 10552 -0.75088360 -0.80199886 -43.022461 -45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 6235 KachelY 10552 -0.75050010 -0.80199886 -43.000488 -45.951150
    Unten links KachelX 6234 KachelY + 1 10553 -0.75088360 -0.80226545 -43.022461 -45.966424
    Unten rechts KachelX + 1 6235 KachelY + 1 10553 -0.75050010 -0.80226545 -43.000488 -45.966424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80199886--0.80226545) × R
    0.000266590000000066 × 6371000     		dl = 1698.44489000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80199886--0.80226545) × R
    0.000266590000000066 × 6371000     		dr = 1698.44489000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75088360--0.75050010) × cos(-0.80199886) × R
    0.000383499999999981 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 1698.74172212198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75088360--0.75050010) × cos(-0.80226545) × R
    0.000383499999999981 × 0.695079788540627 × 6371000     		du = 1698.27350312578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80199886)-sin(-0.80226545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.695079788540627)×R²
    abs(-0.75050010--0.75088360)×0.000191635540606638×R²
    0.000383499999999981×0.000191635540606638×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191635540606638×40589641000000     		ar = 2884821.59237277m²