Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62339 / 40077
↖ ↑ ↗
← N 57.116859°
W  8.780823°		 ← 165.82 m → N 57.116859°
W  8.778076°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.115368°
W  8.780823°		 ← 165.83 m →
27 500 m²		 N 57.115368°
W  8.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475612640380859 y=0.305767059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475612640380859 × 217)
    floor (0.475612640380859 × 131072)
    floor (62339.5)     		tx = 62339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305767059326172 × 217)
    floor (0.305767059326172 × 131072)
    floor (40077.5)     		ty = 40077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62339 / 40077 ti = "17/62339/40077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62339/40077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62339 ÷ 217
    62339 ÷ 131072     		x = 0.475608825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40077 ÷ 217
    40077 ÷ 131072     		y = 0.305763244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475608825683594 × 2 - 1) × π
    -0.0487823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15325427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305763244628906 × 2 - 1) × π
    0.388473510742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.22042552742701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15325427} λ = -0.15325427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22042552742701))-π/2
    2×atan(3.38862938161105)-π/2
    2×1.28383678615554-π/2
    2.56767357231108-1.57079632675     		φ = 0.99687725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15325427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.780823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99687725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.116859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62339 KachelY 40077 -0.15325427 0.99687725 -8.780823 57.116859
    Oben rechts KachelX + 1 62340 KachelY 40077 -0.15320633 0.99687725 -8.778076 57.116859
    Unten links KachelX 62339 KachelY + 1 40078 -0.15325427 0.99685122 -8.780823 57.115368
    Unten rechts KachelX + 1 62340 KachelY + 1 40078 -0.15320633 0.99685122 -8.778076 57.115368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99687725-0.99685122) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99687725-0.99685122) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15325427--0.15320633) × cos(0.99687725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542927370720167 × 6371000     		do = 165.823993968449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15325427--0.15320633) × cos(0.99685122) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542949230000669 × 6371000     		du = 165.830670355372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99687725)-sin(0.99685122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542927370720167-0.542949230000669)×R²
    abs(-0.15320633--0.15325427)×2.18592805021345e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18592805021345e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18592805021345e-05×40589641000000     		ar = 27500.3288427082m²