Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62338 / 76668
↖ ↑ ↗
← S 29.219302°
W  8.783569°		 ← 266.51 m → S 29.219302°
W  8.780823°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 29.221699°
W  8.783569°		 ← 266.50 m →
71 023 m²		 S 29.221699°
W  8.780823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475605010986328 y=0.584934234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475605010986328 × 217)
    floor (0.475605010986328 × 131072)
    floor (62338.5)     		tx = 62338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584934234619141 × 217)
    floor (0.584934234619141 × 131072)
    floor (76668.5)     		ty = 76668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62338 / 76668 ti = "17/62338/76668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62338/76668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62338 ÷ 217
    62338 ÷ 131072     		x = 0.475601196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76668 ÷ 217
    76668 ÷ 131072     		y = 0.584930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475601196289062 × 2 - 1) × π
    -0.048797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15330220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.16986083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.533633566570465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15330220} λ = -0.15330220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533633566570465))-π/2
    2×atan(0.586470115253995)-π/2
    2×0.530411650216795-π/2
    1.06082330043359-1.57079632675     		φ = -0.50997303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15330220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.783569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50997303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.219302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62338 KachelY 76668 -0.15330220 -0.50997303 -8.783569 -29.219302
    Oben rechts KachelX + 1 62339 KachelY 76668 -0.15325427 -0.50997303 -8.780823 -29.219302
    Unten links KachelX 62338 KachelY + 1 76669 -0.15330220 -0.51001486 -8.783569 -29.221699
    Unten rechts KachelX + 1 62339 KachelY + 1 76669 -0.15325427 -0.51001486 -8.780823 -29.221699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50997303--0.51001486) × R
    4.18299999999094e-05 × 6371000     		dl = 266.498929999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50997303--0.51001486) × R
    4.18299999999094e-05 × 6371000     		dr = 266.498929999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15330220--0.15325427) × cos(-0.50997303) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872757673468689 × 6371000     		do = 266.507054868485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15330220--0.15325427) × cos(-0.51001486) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872737253235503 × 6371000     		du = 266.500819304626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50997303)-sin(-0.51001486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872757673468689-0.872737253235503)×R²
    abs(-0.15325427--0.15330220)×2.0420233185936e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.0420233185936e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.0420233185936e-05×40589641000000     		ar = 71023.0140845068m²