Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62338 / 40076
↖ ↑ ↗
← N 57.118350°
W  8.783569°		 ← 165.78 m → N 57.118350°
W  8.780823°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.116859°
W  8.783569°		 ← 165.79 m →
27 483 m²		 N 57.116859°
W  8.780823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475605010986328 y=0.305759429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475605010986328 × 217)
    floor (0.475605010986328 × 131072)
    floor (62338.5)     		tx = 62338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305759429931641 × 217)
    floor (0.305759429931641 × 131072)
    floor (40076.5)     		ty = 40076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62338 / 40076 ti = "17/62338/40076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62338/40076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62338 ÷ 217
    62338 ÷ 131072     		x = 0.475601196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40076 ÷ 217
    40076 ÷ 131072     		y = 0.305755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475601196289062 × 2 - 1) × π
    -0.048797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15330220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305755615234375 × 2 - 1) × π
    0.38848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22047346432663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15330220} λ = -0.15330220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22047346432663))-π/2
    2×atan(3.38879182589107)-π/2
    2×1.28384979902114-π/2
    2.56769959804227-1.57079632675     		φ = 0.99690327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15330220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.783569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99690327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.118350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62338 KachelY 40076 -0.15330220 0.99690327 -8.783569 57.118350
    Oben rechts KachelX + 1 62339 KachelY 40076 -0.15325427 0.99690327 -8.780823 57.118350
    Unten links KachelX 62338 KachelY + 1 40077 -0.15330220 0.99687725 -8.783569 57.116859
    Unten rechts KachelX + 1 62339 KachelY + 1 40077 -0.15325427 0.99687725 -8.780823 57.116859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99690327-0.99687725) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dl = 165.773419999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99690327-0.99687725) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dr = 165.773419999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15330220--0.15325427) × cos(0.99690327) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.542905519469736 × 6371000     		do = 165.782731523489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15330220--0.15325427) × cos(0.99687725) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.542927370720167 × 6371000     		du = 165.789404065678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99690327)-sin(0.99687725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542905519469736-0.542927370720167)×R²
    abs(-0.15325427--0.15330220)×2.18512504306378e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18512504306378e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18512504306378e-05×40589641000000     		ar = 27482.9234482182m²