Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62337 / 76670
↖ ↑ ↗
← S 29.224096°
W  8.786316°		 ← 266.55 m → S 29.224096°
W  8.783569°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
S 29.226493°
W  8.786316°		 ← 266.54 m →
71 035 m²		 S 29.226493°
W  8.783569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475597381591797 y=0.584949493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475597381591797 × 217)
    floor (0.475597381591797 × 131072)
    floor (62337.5)     		tx = 62337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584949493408203 × 217)
    floor (0.584949493408203 × 131072)
    floor (76670.5)     		ty = 76670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62337 / 76670 ti = "17/62337/76670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62337/76670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62337 ÷ 217
    62337 ÷ 131072     		x = 0.475593566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76670 ÷ 217
    76670 ÷ 131072     		y = 0.584945678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475593566894531 × 2 - 1) × π
    -0.0488128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15335014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584945678710938 × 2 - 1) × π
    -0.169891357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533729440369705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15335014} λ = -0.15335014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533729440369705))-π/2
    2×atan(0.586413890831173)-π/2
    2×0.530369813898774-π/2
    1.06073962779755-1.57079632675     		φ = -0.51005670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15335014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.786316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51005670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.224096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62337 KachelY 76670 -0.15335014 -0.51005670 -8.786316 -29.224096
    Oben rechts KachelX + 1 62338 KachelY 76670 -0.15330220 -0.51005670 -8.783569 -29.224096
    Unten links KachelX 62337 KachelY + 1 76671 -0.15335014 -0.51009853 -8.786316 -29.226493
    Unten rechts KachelX + 1 62338 KachelY + 1 76671 -0.15330220 -0.51009853 -8.783569 -29.226493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51005670--0.51009853) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51005670--0.51009853) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15335014--0.15330220) × cos(-0.51005670) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872716826592979 × 6371000     		do = 266.550182572592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15335014--0.15330220) × cos(-0.51009853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872696403305322 × 6371000     		du = 266.543944774846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51005670)-sin(-0.51009853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872716826592979-0.872696403305322)×R²
    abs(-0.15330220--0.15335014)×2.04232876573895e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04232876573895e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04232876573895e-05×40589641000000     		ar = 71034.5072740676m²