Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62336 / 40057
↖ ↑ ↗
← N 57.146671°
W  8.789063°		 ← 165.69 m → N 57.146671°
W  8.786316°		 →
↑
165.65 m
↓
↑
165.65 m
↓
N 57.145181°
W  8.789063°		 ← 165.70 m →
27 447 m²		 N 57.145181°
W  8.786316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475589752197266 y=0.305614471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475589752197266 × 217)
    floor (0.475589752197266 × 131072)
    floor (62336.5)     		tx = 62336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305614471435547 × 217)
    floor (0.305614471435547 × 131072)
    floor (40057.5)     		ty = 40057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62336 / 40057 ti = "17/62336/40057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62336/40057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62336 ÷ 217
    62336 ÷ 131072     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40057 ÷ 217
    40057 ÷ 131072     		y = 0.305610656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305610656738281 × 2 - 1) × π
    0.388778686523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.22138426541941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22138426541941))-π/2
    2×atan(3.39187974721689)-π/2
    2×1.28409694395001-π/2
    2.56819388790002-1.57079632675     		φ = 0.99739756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99739756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.146671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62336 KachelY 40057 -0.15339808 0.99739756 -8.789063 57.146671
    Oben rechts KachelX + 1 62337 KachelY 40057 -0.15335014 0.99739756 -8.786316 57.146671
    Unten links KachelX 62336 KachelY + 1 40058 -0.15339808 0.99737156 -8.789063 57.145181
    Unten rechts KachelX + 1 62337 KachelY + 1 40058 -0.15335014 0.99737156 -8.786316 57.145181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99739756-0.99737156) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dl = 165.645999999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99739756-0.99737156) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dr = 165.645999999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15335014) × cos(0.99739756) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542490351495901 × 6371000     		do = 165.690517048483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15335014) × cos(0.99737156) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542512192925383 × 6371000     		du = 165.697187983245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99739756)-sin(0.99737156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542490351495901-0.542512192925383)×R²
    abs(-0.15335014--0.15339808)×2.1841429482139e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1841429482139e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1841429482139e-05×40589641000000     		ar = 27446.5238954533m²