Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62335 / 33969
↖ ↑ ↗
← N 65.163425°
W  8.791809°		 ← 128.29 m → N 65.163425°
W  8.789063°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
N 65.162272°
W  8.791809°		 ← 128.29 m →
16 453 m²		 N 65.162272°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475582122802734 y=0.259166717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475582122802734 × 217)
    floor (0.475582122802734 × 131072)
    floor (62335.5)     		tx = 62335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259166717529297 × 217)
    floor (0.259166717529297 × 131072)
    floor (33969.5)     		ty = 33969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62335 / 33969 ti = "17/62335/33969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62335/33969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62335 ÷ 217
    62335 ÷ 131072     		x = 0.475578308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33969 ÷ 217
    33969 ÷ 131072     		y = 0.259162902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475578308105469 × 2 - 1) × π
    -0.0488433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15344602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259162902832031 × 2 - 1) × π
    0.481674194335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.51322411030631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15344602} λ = -0.15344602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51322411030631))-π/2
    2×atan(4.54134902645565)-π/2
    2×1.35405632470484-π/2
    2.70811264940967-1.57079632675     		φ = 1.13731632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15344602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13731632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.163425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62335 KachelY 33969 -0.15344602 1.13731632 -8.791809 65.163425
    Oben rechts KachelX + 1 62336 KachelY 33969 -0.15339808 1.13731632 -8.789063 65.163425
    Unten links KachelX 62335 KachelY + 1 33970 -0.15344602 1.13729619 -8.791809 65.162272
    Unten rechts KachelX + 1 62336 KachelY + 1 33970 -0.15339808 1.13729619 -8.789063 65.162272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13731632-1.13729619) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13731632-1.13729619) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15344602--0.15339808) × cos(1.13731632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420031478786377 × 6371000     		do = 128.288425231614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15344602--0.15339808) × cos(1.13729619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420049746868221 × 6371000     		du = 128.294004774029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13731632)-sin(1.13729619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420031478786377-0.420049746868221)×R²
    abs(-0.15339808--0.15344602)×1.82680818442971e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82680818442971e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82680818442971e-05×40589641000000     		ar = 16453.1212491568m²