Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62335 / 33967
↖ ↑ ↗
← N 65.165732°
W  8.791809°		 ← 128.28 m → N 65.165732°
W  8.789063°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
N 65.164579°
W  8.791809°		 ← 128.28 m →
16 452 m²		 N 65.164579°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475582122802734 y=0.259151458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475582122802734 × 217)
    floor (0.475582122802734 × 131072)
    floor (62335.5)     		tx = 62335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259151458740234 × 217)
    floor (0.259151458740234 × 131072)
    floor (33967.5)     		ty = 33967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62335 / 33967 ti = "17/62335/33967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62335/33967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62335 ÷ 217
    62335 ÷ 131072     		x = 0.475578308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33967 ÷ 217
    33967 ÷ 131072     		y = 0.259147644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475578308105469 × 2 - 1) × π
    -0.0488433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15344602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259147644042969 × 2 - 1) × π
    0.481704711914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.51331998410555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15344602} λ = -0.15344602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51331998410555))-π/2
    2×atan(4.54178444371271)-π/2
    2×1.35407645883564-π/2
    2.70815291767128-1.57079632675     		φ = 1.13735659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15344602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13735659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.165732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62335 KachelY 33967 -0.15344602 1.13735659 -8.791809 65.165732
    Oben rechts KachelX + 1 62336 KachelY 33967 -0.15339808 1.13735659 -8.789063 65.165732
    Unten links KachelX 62335 KachelY + 1 33968 -0.15344602 1.13733646 -8.791809 65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 62336 KachelY + 1 33968 -0.15339808 1.13733646 -8.789063 65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13735659-1.13733646) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13735659-1.13733646) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15344602--0.15339808) × cos(1.13735659) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41999493303682 × 6371000     		do = 128.277263219011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15344602--0.15339808) × cos(1.13733646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 128.28284286542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13735659)-sin(1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41999493303682-0.420013201459149)×R²
    abs(-0.15339808--0.15344602)×1.82684223291596e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82684223291596e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82684223291596e-05×40589641000000     		ar = 16451.6897474282m²