Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62333 / 75133
↖ ↑ ↗
← S 25.475513°
W  8.797302°		 ← 275.73 m → S 25.475513°
W  8.794556°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 25.477992°
W  8.797302°		 ← 275.72 m →
76 010 m²		 S 25.477992°
W  8.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475566864013672 y=0.573223114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475566864013672 × 217)
    floor (0.475566864013672 × 131072)
    floor (62333.5)     		tx = 62333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573223114013672 × 217)
    floor (0.573223114013672 × 131072)
    floor (75133.5)     		ty = 75133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62333 / 75133 ti = "17/62333/75133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62333/75133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62333 ÷ 217
    62333 ÷ 131072     		x = 0.475563049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75133 ÷ 217
    75133 ÷ 131072     		y = 0.573219299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475563049316406 × 2 - 1) × π
    -0.0488739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15354189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573219299316406 × 2 - 1) × π
    -0.146438598632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.460050425653679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15354189} λ = -0.15354189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460050425653679))-π/2
    2×atan(0.631251813419028)-π/2
    2×0.563082374762504-π/2
    1.12616474952501-1.57079632675     		φ = -0.44463158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15354189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.797302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44463158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.475513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62333 KachelY 75133 -0.15354189 -0.44463158 -8.797302 -25.475513
    Oben rechts KachelX + 1 62334 KachelY 75133 -0.15349395 -0.44463158 -8.794556 -25.475513
    Unten links KachelX 62333 KachelY + 1 75134 -0.15354189 -0.44467485 -8.797302 -25.477992
    Unten rechts KachelX + 1 62334 KachelY + 1 75134 -0.15349395 -0.44467485 -8.794556 -25.477992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44463158--0.44467485) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44463158--0.44467485) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15354189--0.15349395) × cos(-0.44463158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902769193427645 × 6371000     		do = 275.72894895182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15354189--0.15349395) × cos(-0.44467485) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902750581060308 × 6371000     		du = 275.723264255753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44463158)-sin(-0.44467485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902769193427645-0.902750581060308)×R²
    abs(-0.15349395--0.15354189)×1.86123673371341e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86123673371341e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86123673371341e-05×40589641000000     		ar = 76010.2898710814m²