Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62332 / 40068
↖ ↑ ↗
← N 57.130277°
W  8.800049°		 ← 165.76 m → N 57.130277°
W  8.797302°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.128786°
W  8.800049°		 ← 165.77 m →
27 480 m²		 N 57.128786°
W  8.797302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475559234619141 y=0.305698394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475559234619141 × 217)
    floor (0.475559234619141 × 131072)
    floor (62332.5)     		tx = 62332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305698394775391 × 217)
    floor (0.305698394775391 × 131072)
    floor (40068.5)     		ty = 40068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62332 / 40068 ti = "17/62332/40068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62332/40068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62332 ÷ 217
    62332 ÷ 131072     		x = 0.475555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40068 ÷ 217
    40068 ÷ 131072     		y = 0.305694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15358983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305694580078125 × 2 - 1) × π
    0.38861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22085695952359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15358983} λ = -0.15358983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22085695952359))-π/2
    2×atan(3.39009166050403)-π/2
    2×1.28395388308835-π/2
    2.5679077661767-1.57079632675     		φ = 0.99711144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15358983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99711144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.130277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62332 KachelY 40068 -0.15358983 0.99711144 -8.800049 57.130277
    Oben rechts KachelX + 1 62333 KachelY 40068 -0.15354189 0.99711144 -8.797302 57.130277
    Unten links KachelX 62332 KachelY + 1 40069 -0.15358983 0.99708542 -8.800049 57.128786
    Unten rechts KachelX + 1 62333 KachelY + 1 40069 -0.15354189 0.99708542 -8.797302 57.128786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99711144-0.99708542) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dl = 165.773419999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99711144-0.99708542) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dr = 165.773419999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15358983--0.15354189) × cos(0.99711144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542730687835983 × 6371000     		do = 165.763921953097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15358983--0.15354189) × cos(0.99708542) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542752542026692 × 6371000     		du = 165.770596785467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99711144)-sin(0.99708542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542730687835983-0.542752542026692)×R²
    abs(-0.15354189--0.15358983)×2.1854190709325e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1854190709325e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1854190709325e-05×40589641000000     		ar = 27479.8055111682m²