Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62332 / 40065
↖ ↑ ↗
← N 57.134749°
W  8.800049°		 ← 165.74 m → N 57.134749°
W  8.797302°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.133258°
W  8.800049°		 ← 165.75 m →
27 476 m²		 N 57.133258°
W  8.797302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475559234619141 y=0.305675506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475559234619141 × 217)
    floor (0.475559234619141 × 131072)
    floor (62332.5)     		tx = 62332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305675506591797 × 217)
    floor (0.305675506591797 × 131072)
    floor (40065.5)     		ty = 40065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62332 / 40065 ti = "17/62332/40065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62332/40065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62332 ÷ 217
    62332 ÷ 131072     		x = 0.475555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40065 ÷ 217
    40065 ÷ 131072     		y = 0.305671691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15358983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305671691894531 × 2 - 1) × π
    0.388656616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22100077022245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15358983} λ = -0.15358983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22100077022245))-π/2
    2×atan(3.39057922701273)-π/2
    2×1.28399290597131-π/2
    2.56798581194263-1.57079632675     		φ = 0.99718949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15358983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99718949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.134749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62332 KachelY 40065 -0.15358983 0.99718949 -8.800049 57.134749
    Oben rechts KachelX + 1 62333 KachelY 40065 -0.15354189 0.99718949 -8.797302 57.134749
    Unten links KachelX 62332 KachelY + 1 40066 -0.15358983 0.99716347 -8.800049 57.133258
    Unten rechts KachelX + 1 62333 KachelY + 1 40066 -0.15354189 0.99716347 -8.797302 57.133258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99718949-0.99716347) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dl = 165.773419999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99718949-0.99716347) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dr = 165.773419999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15358983--0.15354189) × cos(0.99718949) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542665131458702 × 6371000     		do = 165.743899348054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15358983--0.15354189) × cos(0.99716347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542686986751577 × 6371000     		du = 165.750574517054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99718949)-sin(0.99716347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542665131458702-0.542686986751577)×R²
    abs(-0.15354189--0.15358983)×2.18552928755722e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18552928755722e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18552928755722e-05×40589641000000     		ar = 27476.4863234844m²