Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6233 / 10551
↖ ↑ ↗
← S 45.935871°
W 43.044434°		 ← 1 699.17 m → S 45.935871°
W 43.022461°		 →
↑
1 698.95 m
↓
↑
1 698.95 m
↓
S 45.951150°
W 43.044434°		 ← 1 698.70 m →
2 886 408 m²		 S 45.951150°
W 43.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380462646484375 y=0.644012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380462646484375 × 214)
    floor (0.380462646484375 × 16384)
    floor (6233.5)     		tx = 6233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644012451171875 × 214)
    floor (0.644012451171875 × 16384)
    floor (10551.5)     		ty = 10551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6233 / 10551 ti = "14/6233/10551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6233/10551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6233 ÷ 214
    6233 ÷ 16384     		x = 0.38043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10551 ÷ 214
    10551 ÷ 16384     		y = 0.64398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.2391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75126709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.2879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.9046651696297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75126709} λ = -0.75126709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9046651696297))-π/2
    2×atan(0.404677360691615)-π/2
    2×0.384532069851486-π/2
    0.769064139702972-1.57079632675     		φ = -0.80173219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75126709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80173219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.935871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6233 KachelY 10551 -0.75126709 -0.80173219 -43.044434 -45.935871
    Oben rechts KachelX + 1 6234 KachelY 10551 -0.75088360 -0.80173219 -43.022461 -45.935871
    Unten links KachelX 6233 KachelY + 1 10552 -0.75126709 -0.80199886 -43.044434 -45.951150
    Unten rechts KachelX + 1 6234 KachelY + 1 10552 -0.75088360 -0.80199886 -43.022461 -45.951150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80173219--0.80199886) × R
    0.000266670000000024 × 6371000     		dl = 1698.95457000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80173219--0.80199886) × R
    0.000266670000000024 × 6371000     		dr = 1698.95457000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75126709--0.75088360) × cos(-0.80173219) × R
    0.000383490000000042 × 0.695463067693691 × 6371000     		do = 1699.16565288818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75126709--0.75088360) × cos(-0.80199886) × R
    0.000383490000000042 × 0.695271424081233 × 6371000     		du = 1698.69742637982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80173219)-sin(-0.80199886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695463067693691-0.695271424081233)×R²
    abs(-0.75088360--0.75126709)×0.000191643612457937×R²
    0.000383490000000042×0.000191643612457937×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191643612457937×40589641000000     		ar = 2886407.5204832m²