Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62329 / 40071
↖ ↑ ↗
← N 57.125805°
W  8.808289°		 ← 165.78 m → N 57.125805°
W  8.805542°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.124314°
W  8.808289°		 ← 165.79 m →
27 483 m²		 N 57.124314°
W  8.805542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475536346435547 y=0.305721282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475536346435547 × 217)
    floor (0.475536346435547 × 131072)
    floor (62329.5)     		tx = 62329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305721282958984 × 217)
    floor (0.305721282958984 × 131072)
    floor (40071.5)     		ty = 40071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62329 / 40071 ti = "17/62329/40071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62329/40071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62329 ÷ 217
    62329 ÷ 131072     		x = 0.475532531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40071 ÷ 217
    40071 ÷ 131072     		y = 0.305717468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475532531738281 × 2 - 1) × π
    -0.0489349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15373364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305717468261719 × 2 - 1) × π
    0.388565063476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22071314882473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15373364} λ = -0.15373364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22071314882473))-π/2
    2×atan(3.38960416410757)-π/2
    2×1.28391485549162-π/2
    2.56782971098324-1.57079632675     		φ = 0.99703338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15373364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.808289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99703338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.125805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62329 KachelY 40071 -0.15373364 0.99703338 -8.808289 57.125805
    Oben rechts KachelX + 1 62330 KachelY 40071 -0.15368570 0.99703338 -8.805542 57.125805
    Unten links KachelX 62329 KachelY + 1 40072 -0.15373364 0.99700736 -8.808289 57.124314
    Unten rechts KachelX + 1 62330 KachelY + 1 40072 -0.15368570 0.99700736 -8.805542 57.124314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99703338-0.99700736) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dl = 165.773419999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99703338-0.99700736) × R
    2.601999999996e-05 × 6371000     		dr = 165.773419999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15373364--0.15368570) × cos(0.99703338) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5427962493057 × 6371000     		do = 165.783946113405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15373364--0.15368570) × cos(0.99700736) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542818102393969 × 6371000     		du = 165.790620609061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99703338)-sin(0.99700736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5427962493057-0.542818102393969)×R²
    abs(-0.15368570--0.15373364)×2.18530882687418e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18530882687418e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18530882687418e-05×40589641000000     		ar = 27483.1249567815m²