Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62326 / 76077
↖ ↑ ↗
← S 27.792921°
W  8.816528°		 ← 270.19 m → S 27.792921°
W  8.813782°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
S 27.795351°
W  8.816528°		 ← 270.19 m →
73 003 m²		 S 27.795351°
W  8.813782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475513458251953 y=0.580425262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475513458251953 × 217)
    floor (0.475513458251953 × 131072)
    floor (62326.5)     		tx = 62326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580425262451172 × 217)
    floor (0.580425262451172 × 131072)
    floor (76077.5)     		ty = 76077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62326 / 76077 ti = "17/62326/76077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62326/76077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62326 ÷ 217
    62326 ÷ 131072     		x = 0.475509643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76077 ÷ 217
    76077 ÷ 131072     		y = 0.580421447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15387745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580421447753906 × 2 - 1) × π
    -0.160842895507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.505302858895012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15387745} λ = -0.15387745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505302858895012))-π/2
    2×atan(0.603322826070364)-π/2
    2×0.542859173441246-π/2
    1.08571834688249-1.57079632675     		φ = -0.48507798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15387745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48507798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.792921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62326 KachelY 76077 -0.15387745 -0.48507798 -8.816528 -27.792921
    Oben rechts KachelX + 1 62327 KachelY 76077 -0.15382951 -0.48507798 -8.813782 -27.792921
    Unten links KachelX 62326 KachelY + 1 76078 -0.15387745 -0.48512039 -8.816528 -27.795351
    Unten rechts KachelX + 1 62327 KachelY + 1 76078 -0.15382951 -0.48512039 -8.813782 -27.795351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48507798--0.48512039) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dl = 270.194109999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48507798--0.48512039) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dr = 270.194109999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15387745--0.15382951) × cos(-0.48507798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884638591490894 × 6371000     		do = 270.191396438643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15387745--0.15382951) × cos(-0.48512039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88461881587314 × 6371000     		du = 270.185356455957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48507798)-sin(-0.48512039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884638591490894-0.88461881587314)×R²
    abs(-0.15382951--0.15387745)×1.97756177539032e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.97756177539032e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.97756177539032e-05×40589641000000     		ar = 73003.3079174639m²