Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62326 / 76006
↖ ↑ ↗
← S 27.620273°
W  8.816528°		 ← 270.62 m → S 27.620273°
W  8.813782°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.622707°
W  8.816528°		 ← 270.61 m →
73 222 m²		 S 27.622707°
W  8.813782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475513458251953 y=0.579883575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475513458251953 × 217)
    floor (0.475513458251953 × 131072)
    floor (62326.5)     		tx = 62326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579883575439453 × 217)
    floor (0.579883575439453 × 131072)
    floor (76006.5)     		ty = 76006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62326 / 76006 ti = "17/62326/76006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62326/76006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62326 ÷ 217
    62326 ÷ 131072     		x = 0.475509643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76006 ÷ 217
    76006 ÷ 131072     		y = 0.579879760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15387745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579879760742188 × 2 - 1) × π
    -0.159759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.501899339021988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15387745} λ = -0.15387745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501899339021988))-π/2
    2×atan(0.605379745696552)-π/2
    2×0.544365808864428-π/2
    1.08873161772886-1.57079632675     		φ = -0.48206471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15387745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48206471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.620273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62326 KachelY 76006 -0.15387745 -0.48206471 -8.816528 -27.620273
    Oben rechts KachelX + 1 62327 KachelY 76006 -0.15382951 -0.48206471 -8.813782 -27.620273
    Unten links KachelX 62326 KachelY + 1 76007 -0.15387745 -0.48210718 -8.816528 -27.622707
    Unten rechts KachelX + 1 62327 KachelY + 1 76007 -0.15382951 -0.48210718 -8.813782 -27.622707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48206471--0.48210718) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48206471--0.48210718) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15387745--0.15382951) × cos(-0.48206471) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.886039592734024 × 6371000     		do = 270.619298280067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15387745--0.15382951) × cos(-0.48210718) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88601990243621 × 6371000     		du = 270.613284356286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48206471)-sin(-0.48210718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886039592734024-0.88601990243621)×R²
    abs(-0.15382951--0.15387745)×1.96902978146785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.96902978146785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.96902978146785e-05×40589641000000     		ar = 73222.3737788748m²