Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62325 / 75139
↖ ↑ ↗
← S 25.490389°
W  8.819275°		 ← 275.64 m → S 25.490389°
W  8.816528°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 25.492868°
W  8.819275°		 ← 275.63 m →
75 985 m²		 S 25.492868°
W  8.816528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475505828857422 y=0.573268890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475505828857422 × 217)
    floor (0.475505828857422 × 131072)
    floor (62325.5)     		tx = 62325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573268890380859 × 217)
    floor (0.573268890380859 × 131072)
    floor (75139.5)     		ty = 75139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62325 / 75139 ti = "17/62325/75139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62325/75139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62325 ÷ 217
    62325 ÷ 131072     		x = 0.475502014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75139 ÷ 217
    75139 ÷ 131072     		y = 0.573265075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475502014160156 × 2 - 1) × π
    -0.0489959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15392538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573265075683594 × 2 - 1) × π
    -0.146530151367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.460338047051399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15392538} λ = -0.15392538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460338047051399))-π/2
    2×atan(0.631070277998126)-π/2
    2×0.56295255492556-π/2
    1.12590510985112-1.57079632675     		φ = -0.44489122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15392538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.819275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44489122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.490389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62325 KachelY 75139 -0.15392538 -0.44489122 -8.819275 -25.490389
    Oben rechts KachelX + 1 62326 KachelY 75139 -0.15387745 -0.44489122 -8.816528 -25.490389
    Unten links KachelX 62325 KachelY + 1 75140 -0.15392538 -0.44493449 -8.819275 -25.492868
    Unten rechts KachelX + 1 62326 KachelY + 1 75140 -0.15387745 -0.44493449 -8.816528 -25.492868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44489122--0.44493449) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dl = 275.673170000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44489122--0.44493449) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dr = 275.673170000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15392538--0.15387745) × cos(-0.44489122) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902657485263923 × 6371000     		do = 275.637322094896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15392538--0.15387745) × cos(-0.44493449) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902638862755047 × 6371000     		du = 275.631635487782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44489122)-sin(-0.44493449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902657485263923-0.902638862755047)×R²
    abs(-0.15387745--0.15392538)×1.86225088765202e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86225088765202e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86225088765202e-05×40589641000000     		ar = 75985.0305415382m²