Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62323 / 33909
↖ ↑ ↗
← N 65.232554°
W  8.824768°		 ← 127.95 m → N 65.232554°
W  8.822021°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.231403°
W  8.824768°		 ← 127.96 m →
16 378 m²		 N 65.231403°
W  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475490570068359 y=0.258708953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475490570068359 × 217)
    floor (0.475490570068359 × 131072)
    floor (62323.5)     		tx = 62323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258708953857422 × 217)
    floor (0.258708953857422 × 131072)
    floor (33909.5)     		ty = 33909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62323 / 33909 ti = "17/62323/33909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62323/33909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62323 ÷ 217
    62323 ÷ 131072     		x = 0.475486755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33909 ÷ 217
    33909 ÷ 131072     		y = 0.258705139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475486755371094 × 2 - 1) × π
    -0.0490264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15402126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258705139160156 × 2 - 1) × π
    0.482589721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.51610032428352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15402126} λ = -0.15402126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51610032428352))-π/2
    2×atan(4.55442972042069)-π/2
    2×1.35465958710212-π/2
    2.70931917420424-1.57079632675     		φ = 1.13852285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15402126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.824768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13852285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.232554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62323 KachelY 33909 -0.15402126 1.13852285 -8.824768 65.232554
    Oben rechts KachelX + 1 62324 KachelY 33909 -0.15397332 1.13852285 -8.822021 65.232554
    Unten links KachelX 62323 KachelY + 1 33910 -0.15402126 1.13850276 -8.824768 65.231403
    Unten rechts KachelX + 1 62324 KachelY + 1 33910 -0.15397332 1.13850276 -8.822021 65.231403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13852285-1.13850276) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13852285-1.13850276) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15402126--0.15397332) × cos(1.13852285) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418936235849343 × 6371000     		do = 127.95390984709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15402126--0.15397332) × cos(1.13850276) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418954477799314 × 6371000     		du = 127.959481408159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13852285)-sin(1.13850276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418936235849343-0.418954477799314)×R²
    abs(-0.15397332--0.15402126)×1.82419499710207e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82419499710207e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82419499710207e-05×40589641000000     		ar = 16377.6112470478m²