Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62323 / 26068
↖ ↑ ↗
← N 72.851742°
W  8.824768°		 ← 90.05 m → N 72.851742°
W  8.822021°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
N 72.850932°
W  8.824768°		 ← 90.06 m →
8 113 m²		 N 72.850932°
W  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475490570068359 y=0.198886871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475490570068359 × 217)
    floor (0.475490570068359 × 131072)
    floor (62323.5)     		tx = 62323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198886871337891 × 217)
    floor (0.198886871337891 × 131072)
    floor (26068.5)     		ty = 26068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62323 / 26068 ti = "17/62323/26068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62323/26068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62323 ÷ 217
    62323 ÷ 131072     		x = 0.475486755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26068 ÷ 217
    26068 ÷ 131072     		y = 0.198883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475486755371094 × 2 - 1) × π
    -0.0490264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15402126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198883056640625 × 2 - 1) × π
    0.60223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89197355420438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15402126} λ = -0.15402126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89197355420438))-π/2
    2×atan(6.63244526336152)-π/2
    2×1.42114954159713-π/2
    2.84229908319427-1.57079632675     		φ = 1.27150276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15402126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.824768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27150276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.851742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62323 KachelY 26068 -0.15402126 1.27150276 -8.824768 72.851742
    Oben rechts KachelX + 1 62324 KachelY 26068 -0.15397332 1.27150276 -8.822021 72.851742
    Unten links KachelX 62323 KachelY + 1 26069 -0.15402126 1.27148862 -8.824768 72.850932
    Unten rechts KachelX + 1 62324 KachelY + 1 26069 -0.15397332 1.27148862 -8.822021 72.850932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27150276-1.27148862) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27150276-1.27148862) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15402126--0.15397332) × cos(1.27150276) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.294845251560145 × 6371000     		do = 90.0533291432366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15402126--0.15397332) × cos(1.27148862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.294858762937196 × 6371000     		du = 90.0574558655706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27150276)-sin(1.27148862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294845251560145-0.294858762937196)×R²
    abs(-0.15397332--0.15402126)×1.3511377050357e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3511377050357e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3511377050357e-05×40589641000000     		ar = 8112.7246859404m²