Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62322 / 34654
↖ ↑ ↗
← N 64.361308°
W  8.827515°		 ← 132.16 m → N 64.361308°
W  8.824768°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
N 64.360119°
W  8.827515°		 ← 132.16 m →
17 463 m²		 N 64.360119°
W  8.824768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475482940673828 y=0.264392852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475482940673828 × 217)
    floor (0.475482940673828 × 131072)
    floor (62322.5)     		tx = 62322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264392852783203 × 217)
    floor (0.264392852783203 × 131072)
    floor (34654.5)     		ty = 34654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62322 / 34654 ti = "17/62322/34654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62322/34654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62322 ÷ 217
    62322 ÷ 131072     		x = 0.475479125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34654 ÷ 217
    34654 ÷ 131072     		y = 0.264389038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475479125976562 × 2 - 1) × π
    -0.049041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15406920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264389038085938 × 2 - 1) × π
    0.471221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48038733406657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15406920} λ = -0.15406920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48038733406657))-π/2
    2×atan(4.39464754800786)-π/2
    2×1.34705653064844-π/2
    2.69411306129688-1.57079632675     		φ = 1.12331673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15406920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.827515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12331673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.361308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62322 KachelY 34654 -0.15406920 1.12331673 -8.827515 64.361308
    Oben rechts KachelX + 1 62323 KachelY 34654 -0.15402126 1.12331673 -8.824768 64.361308
    Unten links KachelX 62322 KachelY + 1 34655 -0.15406920 1.12329599 -8.827515 64.360119
    Unten rechts KachelX + 1 62323 KachelY + 1 34655 -0.15402126 1.12329599 -8.824768 64.360119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12331673-1.12329599) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12331673-1.12329599) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15406920--0.15402126) × cos(1.12331673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432694665207404 × 6371000     		do = 132.156088315013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15406920--0.15402126) × cos(1.12329599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432713363064928 × 6371000     		du = 132.161799121984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12331673)-sin(1.12329599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432694665207404-0.432713363064928)×R²
    abs(-0.15402126--0.15406920)×1.86978575235086e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86978575235086e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86978575235086e-05×40589641000000     		ar = 17462.7612356664m²